二次函数与抛物线形实际问题

定义

物体的抛射轨迹（投球、跳水、喷泉水流）与抛物线形建筑（拱桥、隧道、桥洞）的截面都可抽象为抛物线。解决步骤：

1. 建系：观察图形选取坐标原点（常取抛物线顶点、跨度中点或起跳点），让对称轴与坐标轴重合；
2. 定式：依已知条件选一般式、顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$ 或交点式，用待定系数法求解析式；
3. 求解：求高度→代横坐标求 $y$；求宽度/射程→令 $y$ 为指定高度解 $x$，两解之差为宽度；求最值→读顶点。

建系的原点怎么选

同一个抛物线，建系方式不同解析式就不同，但最后的答案（高度、宽度）相同。选得好能省掉一半计算：

图形特征	推荐原点	好处
拱桥、拱门（对称）	拱顶（顶点）为原点	解析式退化为 $y=a{x}^2$，只有一个系数
隧道（路面水平）	路面中点	左右对称，端点坐标成对
投篮、喷泉	出手点 / 出水口	初始位置即原点，$c=0$
物体从地面抛出	起抛点在地面	落地时 $y=0$，好解

原则是：让已知条件尽量落到坐标轴上，让对称轴与坐标轴重合。原点取在顶点时，一般式里的一次项和常数项都消失，只剩 $y=a{x}^2$，待定系数只有一个。

三个「求什么」的对应

题目问	数学操作
某处高度 / 净空	把横坐标代入解析式求 $y$
某高度处的宽度 / 射程	令 $y=$ 该高度，解方程得两个对称的 $x$，相减
最大高度 / 最远射程	读顶点纵坐标 / 令 $y=0$ 求正根

最容易出错的是第二种：解出两个根后要相减才是宽度，只取一个根得到的是半宽。还要注意单位统一成米后再代入，以及结果是否包含车、船自身的高度。

推导

拱桥模型：抛物线形拱桥，拱顶高出水面 $h$ 米，此时水面宽 $2d$ 米。以拱顶为原点、对称轴为 $y$ 轴建系（向下为 $y$ 正方向），抛物线关于 $y$ 轴对称，设 $y=a{x}^2$。水面端点坐标为 $(d,h)$，代入定系数：

$a=\frac{h}{d^2}⟹y=\frac{h}{d^2}{x}^2$

水位变化后水面宽变为 $2x_1$，由新水深 $y_1$ 反求半宽 $x_1=\sqrt{\frac{d^2{y}_1}{h}}$，全宽为 $2x_1$。$■$

抛体模型：离地高度 $h_0$ 处抛出的物体，高度关于时间的函数形如

$h(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t+h_0$

这是开口向下的二次函数：顶点纵坐标是最大高度，顶点横坐标 $t=-\frac{b}{2a}=\frac{v_0}{g}$ 是到达最高点的时间；落地时间由方程 $h(t)=0$ 的正根给出（负根表示抛出之前的时刻，舍去）。$■$

宽度与高度的互化：在解析式中，给定高度 $y=y_1$，解一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=y_1$ 得两个对称的横坐标 $x_1、x_2$，该高度处的水平宽度为 $x_2-x_1$；给定水平位置 $x=x_1$，直接代入得净空高度，用于判断车辆、船只能否通过。

典例精析

一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 20 米，拱顶距水面 4 米。水位上升 3 米达到警戒线时，水面宽多少？

以拱顶为原点、向下为 $y$ 轴正方向建系，设 $y=a{x}^2$。正常水面端点 $(10,4)$ 代入：$4=100a$，$a=\frac{1}{25}$。警戒水位时 $y=1$：

$1=\frac{x^2}{25}⟹x=\pm 5$

水面宽 $2\times 5=10$ 米。

例 2（抛体）：小球以 $10$ m/s 的初速度竖直上抛，抛出点离地 $1.8$ 米，高度 $h=-5t^2+10t+1.8$（$t$ 为时间，单位秒）。求最大高度与落地时间。

配方：$h=-5(t^2-2t)+1.8=-5(t-1{)}^2+5+1.8=-5(t-1{)}^2+6.8$。

故最大高度为 $6.8$ 米，在 $t=1$ 秒时达到。

落地时 $h=0$：$-5(t-1{)}^2+6.8=0$，得 $(t-1{)}^2=1.36$，$t-1=\pm \sqrt{1.36}\approx \pm 1.166$。取正根 $t\approx 2.17$ 秒（负根表示抛出之前的时刻，舍去）。

例 3（隧道限高）：抛物线形隧道，路面宽 $8$ 米，隧道最高点距路面 $4$ 米。一辆宽 $2$ 米的货车能否通过高 $3.5$ 米处的货物？

以路面中点为原点、竖直向上为 $y$ 轴建系，最高点在 $(0,4)$，端点 $(\pm 4,0)$。设 $y=a{x}^2+4$，代入 $(4,0)$ 得 $0=16a+4$，$a=-\frac{1}{4}$，故 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$。

车宽 $2$ 米意味着车身边缘在 $x=\pm 1$ 处，此处的净空高度为

$y=-\frac{1}{4}\cdot 1^2+4=3.75(\text{米})$

$3.75>3.5$，能通过。注意要代的是车身边缘的横坐标（半宽），而不是路面端点。

对比

问题	建系技巧	所求量的对应
拱桥	拱顶为原点	水深代 y 求宽
隧道	路面中点为原点	车宽处 x 求限高
投篮	出手点为原点	篮筐坐标代入
喷泉	出水口为原点	落水点令 y=0

与其他知识的联系

抛物线形问题是二次函数三种解析式（顶点式、交点式、一般式）的实战演练场：选哪种形式、怎么取原点，直接决定计算量。它也是「数形结合」的集中体现——高度、宽度、射程这些几何量都被翻译成函数值与方程的解。

与前面内容的衔接点：求最大高度 = 求顶点；求落地、落水 = 解方程 $h=0$；求某高度的宽度 = 解方程后取两解之差。往后，抛体运动在高中会配上方速度、加速度的概念，用物理公式完整描述。