线段的中点与和差倍分

定义

点 $M$ 把线段 $AB$ 分成相等的两条线段 $AM$ 与 $MB$，点 $M$ 叫线段 $AB$ 的中点（二等分点）：

$AM=MB=\frac{1}{2}AB,AB=2AM=2MB$

推广：把线段分成相等的三段的两个点叫三等分点；一般地，分成 $n$ 等份的 $n-1$ 个点叫 $n$ 等分点，每段长为全长的 $\frac{1}{n}$。

线段的和差：点 $C$ 在线段 $AB$ 上，则

$AC+CB=AB,AC=AB-CB,CB=AB-AC$

推导

中点的构造依据：作线段 $AB$ 的垂直平分线 $l$，设 $l$ 与 $AB$ 交于 $M$。垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故 $MA=MB$；又 $M$ 在 $AB$ 上，$M$ 即中点。这同时给出尺规找中点的方法。$■$

和差关系的依据：点 $C$ 在线段 $AB$ 上时，线段 $AC$ 与 $CB$ 首尾相接恰好铺满 $AB$，长度可加，故 $AC+CB=AB$（线段和的定义）。$■$

倍分换算链：设 $M$ 为 $AB$ 中点，$N$ 为 $MB$ 中点，则

$AN=AM+MN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{4}AB=\frac{3}{4}AB$

多中点问题按「先定全长、逐层平分」列式，必要时设最短段为 $x$，用份数表示其余各段。

中点的三种等价写法

已知 $M$ 是 $AB$ 的中点，下面三种写法随时可以互换：

$AM=MB,AM=\frac{1}{2}AB,AB=2AM$

做题时按需要选用：要列「两小段相等」用第一种；要从小段求全长用第三种；要从全长求小段用第二种。

要特别当心的是反方向不成立：由 $MA=MB$ 推不出 $M$ 是 $AB$ 的中点，因为满足 $MA=MB$ 的点在 $AB$ 的垂直平分线上，有无穷多个。必须补上「$M$ 在线段 $AB$ 上」，两个条件合起来才够。

多中点问题的通法

遇到「一个点分一段、另一个点又分一段」的题，用份数法最稳：

1. 设最短的一段为 $x$（或设全长为 $1$，用分数表示各段）
2. 按中点关系把其余各段都用 $x$ 表示
3. 按线段的和差关系列方程

值得一提的是双中点结论：点 $C$ 在线段 $AB$ 上任意移动，$AC$ 的中点与 $CB$ 的中点之间的距离恒为 $AB$ 的一半，与 $C$ 的位置无关。这个结论在选择题里几乎每年都出现，记住能省不少时间。

坐标中的中点

平面直角坐标系要到七年级下册才学，这里先了解结论即可。若 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则中点 $M$ 的坐标为

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

即横坐标、纵坐标分别取平均。这与线段的和差倍分是同一件事的两种表述：几何里说「$AM=\frac{1}{2}AB$」，坐标里说「坐标取平均」。

典例精析

线段 $AB=12$，点 $C$ 在 $AB$ 上，$M$ 是 $AC$ 中点，$N$ 是 $CB$ 中点，求 $MN$。

$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(AC+CB)=\frac{1}{2}AB=6$

可见无论 $C$ 在 $AB$ 上的什么位置，两个分段中点间的距离恒为全长的一半。

再练一道份数法：$AB=18$，点 $C$ 在 $AB$ 上，$AC:CB=1:2$，$M$ 是 $AC$ 中点，$N$ 是 $CB$ 中点，求 $MN$。

按比例 $AC=6$、$CB=12$，故 $MC=3$、$CN=6$，于是 $MN=9$，仍是 $AB$ 的一半。若把条件改成 $C$ 在 $AB$ 的延长线上，则 $MN$ 不再等于 $\frac{1}{2}AB$——因为 $AC$ 与 $CB$ 不再首尾相接铺满 $AB$，和差关系变了。

对比

条件	结论	附加要求
M 是 AB 中点	$AM=MB=\frac{1}{2}AB$	M 在线段 AB 上
$MA=MB$	M 在 AB 垂直平分线上	不一定在线段上
C 在 AB 上	$AC+CB=AB$	点在线段内部
n 等分点	每段 $\frac{1}{n}AB$	共 n-1 个点