二元一次方程组的应用

定义

含有两个未知量的实际问题，设两个未知数 $x$、$y$，根据题意找出两个独立的等量关系，列出二元一次方程组求解。常见模型：

• 鸡兔同笼型：总头数关系 + 总脚数（或总价值、总分）关系；
• 增收节支型：收入（产量）关系 + 支出（成本）关系；
• 分段行程型：两段路程之和 + 两段时间之和；
• 浓度混合型：混合前后溶液总量相等、溶质总量相等。

推导（建模方法）

鸡兔同笼模型：设鸡 $x$ 只、兔 $y$ 只，共 $H$ 头、$F$ 足。头数关系给出第一个方程，足数关系给出第二个：

$\{\begin{array}{l}x+y=H\\ 2x+4y=F\end{array}$

由第一式 $x=H-y$ 代入第二式：$2(H-y)+4y=F$，得 $y=\frac{F-2H}{2}$、$x=\frac{4H-F}{2}$。代入经典数据 $H=35$、$F=94$：$y=12$、$x=23$。$■$

浓度混合模型：把质量 $m_1$、浓度 $c_1$ 的溶液与质量 $m_2$、浓度 $c_2$ 的溶液混合。混合过程只改变分布、不改变总量：

$\{\begin{array}{l}{m}_1+m_2=m\\ m_1{c}_1+m_2{c}_2=mc\end{array}$

第一式管溶液守恒、第二式管溶质守恒，两个独立关系确定两个未知量。$■$

与一元方程的联系：凡能用方程组解的问题都能先用一个等量关系把 $y$ 表示为 $x$ 的式子，再代入另一个关系列一元一次方程；方程组的代入消元正是这一过程的形式化。选哪种列式取决于题目中哪个关系更便于「翻译」。

列方程组解应用题的六步

1. 审：读题，弄清有哪些量、哪些已知、求什么
2. 设：设两个未知数 $x$、$y$，并写清单位（「设生产螺钉 $x$ 人」而不是「设 $x$」）
3. 列：找两个独立的等量关系，各列一个方程
4. 解：用代入或加减消元求解
5. 验：代入两个方程检验，并检查是否符合实际意义（人数、只数应为非负整数）
6. 答：两个量都作答，与设的未知数一一对应

第 5 步不能省。解出「兔子 $12.5$ 只」说明列式有误而不是题目特殊；解出负数说明设的方向或关系写反了。

怎么找两个等量关系

先按关键词把「关系」圈出来，再翻译成等式：

关键词	常见关系
共、合计、总和、一共	两部分之和等于总量
比……多（少）	差等于已知数
是……的几倍	倍数关系
刚好配套、按比例	两量之比等于配套比
提前、延误、分段	各段时间或路程之和

两条关系必须独立：若第二个方程只是第一个的变形（如由 $x+y=35$ 得 $2x+2y=70$），方程组有无穷多解，等于白列。检验独立性的办法是看两个方程用到的信息是否来自题干的不同条件——通常一道题会给出两类条件（各部分之和、各部分之间的关系），各对应一个方程。

典例精析

某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉配两个螺母，如何安排工人使产品刚好配套？

设生产螺钉 $x$ 人、螺母 $y$ 人。人数关系：$x+y=22$。配套要求螺母总数是螺钉总数的 2 倍：

$2000y=2\times 1200x$

解方程组：由第二式 $y=1.2x$，代入第一式得 $2.2x=22$，$x=10$、$y=12$。安排 10 人生产螺钉、12 人生产螺母。

再练一道分段行程：小明上学，先步行后骑车，全程 $4.5$ 千米，共用 $30$ 分钟；步行速度 $5$ 千米/时，骑车速度 $15$ 千米/时，求两段各用多少分钟。

设步行 $x$ 小时、骑车 $y$ 小时（注意单位统一用小时，$30$ 分钟 $=0.5$ 小时）：

$\{\begin{array}{l}x+y=0.5\\ 5x+15y=4.5\end{array}$

由第一式乘 $5$ 得 $5x+5y=2.5$，与第二式相减得 $10y=2$，故 $y=0.2$、$x=0.3$。即步行 $18$ 分钟、骑车 $12$ 分钟。检验：$5\times 0.3+15\times 0.2=1.5+3=4.5$，符合。

顺带一提，单位不统一是这类题最常见的失分点：速度用「千米/时」，时间却填「分钟」，算出来的路程会差 60 倍。

与其他知识的联系

列方程解应用题的思路会一直用到初三：把文字翻译成等式这一步是不变的，变的只是方程的类型。

• 一元一次不等式组的应用：等量关系变成不等关系（「至少」「不超过」），解法换成求公共部分
• 分式方程与一元二次方程：等量关系本身变复杂，但「找关系、列表格、列方程」的流程一致
• 一次函数：行程问题里的路程与时间关系画出来就是函数图像，方程组对应两个图像的交点

因此这一节真正要练的是「审题 → 找等量关系」这一半，而不是解方程那一半。

对比

模型	等量关系一	等量关系二
鸡兔同笼	总头数	总脚数（总值）
增收节支	收入总量	支出或利润
分段行程	路程和	时间和
浓度混合	溶液守恒	溶质守恒