一元一次不等式组的实际应用

推导（建模与定方案方法）

不空不满模型：把若干物品分配给 $n-1$ 个单位各装 $m$ 个后，剩余部分放入最后一个单位，它「不空也不满」。设物品总数为未知数相关式，最后一个单位中的数量为 $r$，则

$0<r<m$

把 $r$ 用总数表达式代入，与题目另一个条件（如总人数范围、总价范围）组成不等式组，解出整数范围。$■$

载重（预算）模型：安排车辆（采购）时，既要保证装完（够用）又不超载（不超预算）。设用 $x$ 辆（件），则

$\text{每单位能力}\times x\ge \text{任务量},\text{每单位能力}\times x\le \text{最大限制（如有）}$

与费用限制等联立，解集给出可行整数 $x$ 的范围。$■$

选优方法：设可行方案对应整数 $x=a,a+1,\dots ,b$，费用 $y=kx+c$ 为一次式：$k>0$ 取最小整数 $a$ 最省，$k<0$ 取最大整数 $b$ 最省；若费用构成分段或非线性，则列表逐一代入比较。这与一次函数在区间端点取最值的结论一致。$■$

典例精析

把一些书分给学生：每人分 3 本则余 8 本；每人分 5 本时最后一人分不到 5 本但至少分到 1 本。求学生人数与书数。

设学生 $x$ 人，书共 $(3x+8)$ 本。每人分 5 本时，前面 $(x-1)$ 人各得 5 本，最后一人得 $(3x+8)-5(x-1)=13-2x$ 本。由「不少于 1 本且不足 5 本」：

$\{\begin{array}{l}13-2x\ge 1\\ 13-2x<5\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x\le 6\\ x>4\end{array}$

整数解为 $x=5$ 或 $x=6$。$x=5$ 时书 23 本（最后一人 3 本）；$x=6$ 时书 26 本（最后一人 1 本），两种方案均符合题意，需结合题中其他条件确定；若附加「书尽可能多」则取 26 本、6 人。

对比