一元一次方程解行程与工程问题

定义

把实际问题中的数量关系抽象为一元一次方程求解，是方程建模的入门。两类最基本的模型：

行程问题基本量：路程 $s$、速度 $v$、时间 $t$，满足

$s=vt$

• 相遇（相向）：甲路程 + 乙路程 = 初始距离；
• 追及（同向）：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离；
• 航行：顺水（风）速度 = 静水速度 + 水（风）速，逆水（风）速度 = 静水速度 − 水（风）速。

工程问题：设总工作量为 $1$，工作效率 $\times$ 工作时间 = 完成工作量；独做 $n$ 天完成则效率为 $\frac{1}{n}$，合作时效率相加：

$\text{各部分工作量之和}=\text{总工作量}=1$

推导（建模步骤与等量关系来源）

列方程解应用题的统一步骤：审（找已知未知）→ 设（直接或间接设未知数）→ 列（抓一个等量关系列方程）→ 解 → 验（检验方程的解是否符合实际意义）→ 答。

相遇模型推导：设甲、乙从相距 $S$ 的两地相向而行，速度 $v_1、v_2$，同时出发经 $t$ 相遇。相遇时两人走过的路段恰好铺满全程：

$v_{1}t+v_{2}t=S⟹t=\frac{S}{v_1+v_2}$

追及模型推导：慢者先行（或起点落后）距离 $S$，快者速度 $v_1>v_2$，经 $t$ 追上。追上时两人到达同一位置，快者比慢者正好多走 $S$：

$v_{1}t-v_{2}t=S⟹t=\frac{S}{v_1-v_2}$

工程合作推导：甲、乙独做分别需 $a$ 天、$b$ 天，合作 $x$ 天完成。甲每天完成 $\frac{1}{a}$、乙每天完成 $\frac{1}{b}$，合作期间完成总量：

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)x=1⟹x=\frac{ab}{a+b}$

典例精析

行程：甲、乙两站相距 480 千米，慢车从甲站每小时 60 千米、快车从乙站每小时 100 千米同时相向开出，几小时相遇？

设 $t$ 小时相遇：$60t+100t=480$，解得 $t=3$。检验：$60\times 3+100\times 3=480$，符合实际，3 小时相遇。

工程：整理一批图书，一人做需 40 小时。先安排一部分人做 4 小时，再增加 2 人一起做 8 小时完成，每人效率相同，求先安排几人。

设先安排 $x$ 人，每人每小时效率 $\frac{1}{40}$。前段工作量 $\frac{4x}{40}$，后段 $(x+2)$ 人做 8 小时完成 $\frac{8(x+2)}{40}$：

$\frac{4x}{40}+\frac{8(x+2)}{40}=1⟹4x+8x+16=40⟹x=2$

先安排 2 人。

对比

模型	核心等量关系	典型句式
相遇	路程和 = 总距离	相向、相向而行、几时相遇
追及	路程差 = 原距离	同向、追上、落后
航行	船速 ± 水速	顺水、逆水、往返
工程	各段工作量和 = 1	独做、合作、完成