数轴与有理数的大小比较

定义

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

• 原点：在直线上任取一个点表示数 $0$，这个点叫做原点；
• 正方向：通常规定从原点向右（或向上）为正方向，并用箭头标出；
• 单位长度：选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次表示 $1,2,3,\cdots$；从原点向左依次表示 $-1,-2,-3,\cdots$。

有理数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。由此得到：正数大于 $0$，$0$ 大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。

数轴的画法

画数轴分四步：一画直线，二取原点，三定正方向（标出箭头），四标单位长度并均匀刻度。

检查一条「数轴」是否合格，就对照三要素逐一核对。画错的情形多见于：漏画表示正方向的箭头；没有标出原点；单位长度不统一，刻度间距忽大忽小；标数时把负数的顺序写反（原点左边应向左依次是 $-1,-2,-3,\cdots$，而不是 $-3,-2,-1$）。单位长度可以根据需要灵活选取，比较 $-100$ 与 $50$ 时就该把单位长度取大一些。

有理数与数轴上的点

每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示：正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，$0$ 就是原点。表示分数时，把单位长度适当等分即可，如 $\frac{3}{2}$ 在 $1$ 与 $2$ 的中点处。

但反过来不成立：数轴上的点并不都表示有理数。今后会学到，边长为 $1$ 的正方形的对角线长度也能在数轴上找到对应的点，而那个长度不是有理数。这为数系从有理数扩充到实数埋下了伏笔，也说明有理数虽然有无穷多个，却填不满整条数轴。

用数轴比较有理数的大小

数轴是比较大小的直观工具：把各数在数轴上描出来，谁在右边谁就大。由此可直接读出三组结论：

• 正数大于 $0$，$0$ 大于负数，正数大于负数，即正数 $>0>$ 负数；
• 两个正数比较，绝对值大的数大；
• 两个负数比较，绝对值大的反而小。例如比较 $-7$ 与 $-3$：虽然 $7>3$，但 $-7$ 在 $-3$ 的左边，故 $-7<-3$。

多个数比较大小时，把它们全部标到数轴上，按从右到左的顺序读出就是由大到小的顺序。

典例精析

比较 $-\frac{5}{2}$、$0$、$1.5$、$-1$ 的大小：在数轴上描点后，从左到右依次是 $-\frac{5}{2}$、$-1$、$0$、$1.5$，所以

$-\frac{5}{2}<-1<0<1.5$

比较 $-2.8$ 与 $-\frac{8}{3}$：先求绝对值，$|-2.8|=2.8$，$\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}\approx 2.67$。因为 $2.8>\frac{8}{3}$，绝对值大的负数反而小，所以 $-2.8<-\frac{8}{3}$。

与其他知识的联系

数轴把「数」与「形」第一次联系起来，是数形结合思想的起点。相反数在数轴上表现为位于原点两侧且到原点距离相等的两个点，绝对值就是点到原点的距离，二者都离不开数轴这个模型。七年级下册学习实数后，数轴上的点将与全体实数一一对应；再往后学习平面直角坐标系，一维的数轴会扩展为两条互相垂直的数轴。

对比

三要素	要求
原点	数轴上表示 0 的点
正方向	通常规定向右（或向上）为正，用箭头标出
单位长度	统一选取，向右依次标 $1,2,3\dots$，向左标 $-1,-2\dots$

位置关系	大小
右边的点与左边的点	右边的数总大于左边的数
正数、0、负数	正数大于 0，0 大于负数