三角形三边关系

定义

三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。设三边为 $a$、$b$、$c$，则

$a+b>c,a+c>b,b+c>a$

等价地（设 $a\ge b$）：

$a-b<c<a+b$

「任意」这两个字可以省一半力气：三个不等式要同时成立，但不必验证三遍——只需验证两条较短边之和大于最长边。因为最长边加上任意一条边必定大于第三条边，另外两个不等式自动成立。

等号为什么不成立：$a+b=c$ 时，三点共线且中间那个点落在另两点之间，图形退化成一条线段，不是三角形。所以「大于」不能写成「大于等于」。

推导

设 $△ABC$ 三边 $a=BC$、$b=AC$、$c=AB$。

证明 $a+b>c$：在 $△ABC$ 中，从 $A$ 到 $B$ 的路径有两条：直接沿线段 $AB$，或经 $A\to C\to B$。由「两点之间线段最短」：

$AB<AC+CB⟹c<b+a$

同理轮换 $a$、$b$、$c$ 的位置（从每个顶点出发都有两条路径），得其余两式。

差式：由 $a+b>c$ 移项得 $a>c-b$，即 $c<a+b$ 与 $a-b<c$ 同时成立；三个差式同理轮换。$■$

已知两边求第三边的范围

这是三边关系最直接的用途。设已知两边为 $a$、$b$，第三边为 $x$，则

$|a-b|<x<a+b$

下界来自「两边之差小于第三边」，上界来自「两边之和大于第三边」，两端都不能取等号。

例如已知两边为 $3$、$7$，则 $4<x<10$；已知两边为 $5$、$5$，则 $0<x<10$。

等腰三角形为什么要分类讨论

已知等腰三角形的两边求周长，因为不知道哪条是腰，必须分两种情形，而且两种情形都要用三边关系检验。常见的结果是其中一种构不成三角形，需要舍去。

判定的顺序是：先分类 → 再用「两短边之和大于最长边」检验 → 最后求周长。漏掉检验是这类题的标准错误。

典例精析

已知等腰三角形两边为 $4$ 和 $9$，求周长。

• 若腰为 $4$：三边为 $4$、$4$、$9$，检验 $4+4=8<9$，不能构成三角形，舍去；
• 若腰为 $9$：三边为 $9$、$9$、$4$，检验 $4+9>9$ 成立。

故周长为 $9+9+4=22$。

再练一道求范围的：三角形两边为 $3$ 和 $8$，第三边是偶数，求第三边。

由 $8-3<x<8+3$ 得 $5<x<11$，其中的偶数有 $6$、$8$、$10$，故第三边为 $6$、$8$ 或 $10$。注意 $x=5$ 与 $x=11$ 都不能取——取到就退化成线段了。

对比

情形	结论
$a+b>c$	能构成三角形
$a+b=c$	三点共线，退化成线段
$a+b<c$	不能构成三角形
已知两边 $a$、$b$	第三边范围 $|a-b|<x<a+b$

与其他知识的联系

三边关系是三角形这一章的第一条定量结论，后面反复被用到：

• 全等判定（SSS）：三边能构成三角形，才谈得上两个三角形全等
• 等腰三角形：已知两边求第三边时，分类之后靠它舍去不合理解
• 四边形：连对角线把四边形分成两个三角形后，常用它估计边长范围
• 往后：$|a-b|<c<a+b$ 正是三角形存在的充要条件，高中用向量与余弦定理重新表述它