集合的概念与运算

定义

集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象构成的集合。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。

集合元素的三大特征：

1. 确定性：任一对象 $x$ 是否属于集合 $A$ 必须能明确判定；
2. 互异性：集合中的元素互不相同（重复元素只算一个）；
3. 无序性：集合中的元素无先后顺序。

常用数集记号：$\mathbb{N}$（自然数集）、${\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 ${\mathbb{N}}^{+}$（正整数集）、$\mathbb{Z}$（整数集）、$\mathbb{Q}$（有理数集）、$\mathbb{R}$（实数集）。

推导

元素与集合的关系：$x\in A$ 或 $x\notin A$。

集合间的基本关系：

关系	记号	定义
子集	$A\subseteq B$	任意 $x\in A\Rightarrow x\in B$
真子集	$A⫋B$	$A\subseteq B$ 且 $A\ne B$
相等	$A=B$	$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$
空集	$\varnothing$	不含任何元素，是任意集合的子集

集合的三种运算：

$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{或}x\in B\}$

$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{且}x\in B\}$

${\complement }_{U}A=\{x\mid x\in U\text{且}x\notin A\}$

运算律：

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$；
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$；
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$，$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$；
• 德摩根律：${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$，${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$。

区间表示：设 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a<b$。

记号	名称	定义
$[a,b]$	闭区间	$\{x\mid a\le x\le b\}$
$(a,b)$	开区间	$\{x\mid a<x<b\}$
$[a,b)$	半开半闭	$\{x\mid a\le x<b\}$
$(a,b]$	半开半闭	$\{x\mid a<x\le b\}$
$[a,+\infty )$	无穷区间	$\{x\mid x\ge a\}$
$(-\infty ,b)$	无穷区间	$\{x\mid x<b\}$

典例精析

例 1：设 $A=\{x\mid -1<x<3\}$、$B=\{x\mid 0\le x\le 4\}$，求 $A\cap B$、$A\cup B$、${\complement }_{\mathbb{R}}A$。

• $A\cap B=\{x\mid 0\le x<3\}=[0,3)$；
• $A\cup B=\{x\mid -1<x\le 4\}=(-1,4]$；
• ${\complement }_{\mathbb{R}}A=\{x\mid x\le -1\text{或}x\ge 3\}=(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

例 2：已知 $A=\{1,2,m\}$、$B=\{1,m^2\}$，若 $B\subseteq A$，求 $m$ 的值。

由 $B\subseteq A$ 知 $m^2\in A=\{1,2,m\}$，即 $m^2=1$、$m^2=2$ 或 $m^2=m$；再用互异性筛选（列举法中 $A$、$B$ 的元素必须互不相同，故 $m\ne 1,2$ 且 $m^2\ne 1$）：

• $m^2=1\Rightarrow m=\pm 1$：$m=1$ 时 $A$ 中 $1$ 重复，$m=-1$ 时 $B=\{1,1\}$ 列举重复，均舍去；
• $m^2=m\Rightarrow m=0$ 或 $m=1$，$m=1$ 舍去；$m=0$ 时 $A=\{1,2,0\}$、$B=\{1,0\}$，符合 $B\subseteq A$；
• $m^2=2\Rightarrow m=\pm \sqrt{2}$，检验 $A=\{1,2,\pm \sqrt{2}\}$、$B=\{1,2\}$，符合 $B\subseteq A$。

故 $m=0$ 或 $m=\pm \sqrt{2}$。

对比

运算	符号	关键词	示例
并集	$\cup$	或	$A\cup B$ 包含属于 $A$ 或 $B$ 的元素
交集	$\cap$	且	$A\cap B$ 包含同时属于 $A$ 与 $B$ 的元素
补集	${\complement }_U$	非（相对全集）	${\complement }_{U}A$ 包含 $U$ 中不属于 $A$ 的元素