有理数的概念与分类

定义

有理数：整数和分数统称有理数。整数包括正整数、零、负整数；分数包括正分数、负分数。

按符号分类：

$\text{有理数}\{\begin{array}{l}\text{正有理数}\{\begin{array}{l}\text{正整数}\\ \text{正分数}\end{array}\\ \text{零}\\ \text{负有理数}\{\begin{array}{l}\text{负整数}\\ \text{负分数}\end{array}\end{array}$

有限小数和无限循环小数都能化为分数，因此也是有理数。

为什么小数也算有理数：有限小数可以直接写成分母为 $10$、$100$ 的分数，如 $0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$；无限循环小数也可以化成分数，如 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。既然能写成分数，它们就是有理数。

反过来，无限不循环小数不能化成分数，它们不是有理数（属于后面要学的无理数）。

对比

类别	包含内容	是否含 0
整数	正整数、零、负整数	含
分数	正分数、负分数	不含
有理数	整数与分数的全体	含

两套分类标准不能混着用：

• 按定义分：整数 / 分数（看它能不能写成 $\frac{p}{q}$ 的形式）
• 按符号分：正有理数 / 零 / 负有理数（看它比 $0$ 大还是小）

$0$ 的特殊性就在这里：它是整数，属于有理数，但它既不是正有理数也不是负有理数。所以「有理数分为正有理数和负有理数」这个说法是错的，漏掉了 $0$。

怎么判断一个数是哪类有理数

按下面的顺序判断，基本不会出错：

1. 先看是不是整数（含负整数与 $0$）→ 是整数，属于有理数
2. 不是整数，看能不能写成分数或小数 → 有限小数、循环小数都能化成分数，属于有理数
3. 百分数先化成分数再判断，如 $25\%=\frac{1}{4}$
4. 带负号的分数是负分数，如 $-\frac{2}{3}$，仍是有理数

要小心的只有一类：看起来「写不完」的小数。判断它是循环还是不循环，是区分有理数与无理数的关键，而这一步往往要靠它是否能化为分数来定。

典例精析

判断 $-3$、$0$、$\frac{2}{3}$、$0.25$、$\pi$ 是否为有理数：

• $-3$ 是负整数，是有理数；
• $0$ 是整数，是有理数；
• $\frac{2}{3}$ 是分数，是有理数；
• $0.25$ 可化为 $\frac{1}{4}$，是有理数；
• $\pi$ 是无限不循环小数，不是有理数。

再看几个容易犹豫的：

• $-0.6$ 可化为 $-\frac{3}{5}$，是负分数，是有理数；
• $120\%$ 可化为 $\frac{6}{5}$，是有理数；
• $0.\dot{9}$ 是无限循环小数，它等于 $1$，是有理数；
• $\frac{\pi }{2}$ 虽然写成了分数形式，但分子不是整数，它是无理数。

最后一条最容易被忽略：判断的关键是「能不能写成两个整数的比」，而不是「长得像不像分数」。

与其他知识的联系

有理数是整个初中数系的起点：把有理数与无理数合起来就得到实数，而每一个有理数都能在数轴上找到唯一的点，这是学习数轴与绝对值的基础。

此外，有理数的分类方式（按定义分 / 按符号分）会在此后反复出现：实数、整式、角、三角形都有类似的「两套分类」。养成先分清分类标准的习惯，后面的判断题会轻松很多。