几何图形与立体图形的展开图

定义

几何图形：从实物中抽象出的形状、大小和位置关系。各部分不都在同一平面内的是立体图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）；各部分都在同一平面内的是平面图形（线段、角、三角形、圆等）。

立体图形由面围成，面与面相交形成线，线与线相交形成点。

展开图：把立体图形的表面沿适当的棱剪开，展开成的平面图形。

推导（展开图规律）

常见几何体展开图：

立体图形	展开图组成
圆柱	1 个长方形 + 2 个全等的圆
圆锥	1 个扇形 + 1 个圆
n 棱柱	n 个长方形 + 2 个全等 n 边形
n 棱锥	n 个三角形 + 1 个 n 边形

正方体的 11 种展开图（6 个面全是正方形）：

• 一四一型：中间一行 4 个、上下各 1 个（上块位置 4 种、下块位置 4 种去重后），共 6 种；
• 一三二型：各行分别 1、3、2 个，共 3 种；
• 二二二型：每行 2 个呈阶梯状，1 种；
• 三三型：两行各 3 个错开一格，1 种。

排除规则：出现「田」字形四连片、「凹」字形、或一行（列）出现 5 个及以上正方形的，折叠时必有面重叠，不是正方体展开图。$■$

相对面判断：展开图中同一行（列）上隔一个正方形的两个面折成正方体后相对；相对面在立体上不相邻、不共棱。$■$

更实用的两条口诀：

• 同层隔一面：同一行（列）中间隔着一个正方形的两个面，折叠后相对
• 异层看 Z 端：不在同一行时，沿阶梯走出的「Z」字，首尾两个面相对

判断「哪个面与哪个面相邻」时，反过来用即可：相对的面一定不相邻、不共棱、不共顶点。

表面最短路径：立体表面上两点的最短路径不能直接穿过内部。把相关的面展开到同一平面，路径变为连接两点的线段（两点之间线段最短），其长度由勾股定理计算，再对应回立体表面。

表面最短路径的三步

这类题有固定套路：

1. 展开：把路径可能经过的面沿棱剪开，摊到同一平面上。若有多种展开方式，要逐一算出来再比较
2. 连线：在展开图上连接起点与终点，由两点之间线段最短，最短路径就是这条线段
3. 计算：用勾股定理求这条线段的长度

漏掉第 1 步里的「多种展开方式」是最常见的失分点——长方体从一个顶点到相对顶点有三种展开方式，三种都要算，取最小值才是答案。

典例精析

长方体底面为边长 $3$ 的正方形、高 $4$，蚂蚁从下底面顶点 $A$ 沿表面爬到与它相对的上底面顶点 $B$，求最短路径。

展开 $A$ 所在侧面与 $B$ 所在的上底面（或相邻侧面）到同一平面，最短路径成为直角三角形斜边：

$AB=\sqrt{(3+3{)}^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

（不同展开方式给出 $\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$ 等，比较取最小，答案为 $2\sqrt{13}$。）

再看圆柱：底面周长为 $6$、高为 $4$ 的圆柱，蚂蚁从下底面一点绕侧面一周爬到正上方的上底面一点，最短路径是多少？

沿一条母线剪开，侧面展开是长为 $6$（底面周长）、宽为 $4$（高）的长方形。绕一周意味着横向要走满一个周长，起点与终点在展开图上是长方形的对角端点：

$\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

展开后画个图，这类题就变成了勾股定理的直接应用。

与其他知识的联系

展开图是把立体问题化归为平面问题的典型手段，这一思想贯穿后续几何：

• 投影与视图：从三个方向看立体，同样是把三维信息压到二维上处理
• 勾股定理：表面最短路径的最后一步几乎都要用到它
• 表面积计算：展开图的面积就是立体图形的表面积，圆柱侧面积 $2\pi rh$ 正来自「侧面展开是长方形」

到高中学习立体几何时，展开与截面仍是处理空间问题的两把常用钥匙。

对比

几何体	侧面展开	底面
圆柱	长方形	两个圆
圆锥	扇形	一个圆
棱柱	若干长方形	两个多边形
棱锥	若干三角形	一个多边形
球	不存在无重叠平面展开图	—