全等三角形

定义

全等三角形：能够完全重合的两个三角形。记作 $△ABC\cong △DEF$，其中 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow F$ 是对应顶点。

全等三角形的对应边相等、对应角相等。

对应元素怎么找：书写时对应顶点的字母必须写在对应位置（$△ABC\cong △DEF$ 表示 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow F$）。所以 $△ABC\cong △EFD$ 与前式不是一回事——它表示 $A\leftrightarrow E$，是一组完全不同的对应关系。顺序写错，后面的对应边、对应角会全部错位。

看图时有三条线索可帮助定位：对应角所对的边是对应边；两个对应角的夹边是对应边；最长边对最长边、最大角对最大角。

三种常见的全等图形

题目里的全等三角形常由一次变换得到，认出变换类型能快速定位对应关系：

• 平移型：两个三角形方向相同，对应边互相平行
• 翻折型（轴对称型）：两个三角形关于某直线对称，常有一条公共边，多见于角平分线、垂直平分线问题
• 旋转型：两个三角形绕某点旋转后重合，多见于有公共顶点的等边、等腰三角形

认出模型之后，剩下的事就是按 SSS / SAS / ASA / AAS / HL 找齐三个条件。

推导

判定两个三角形全等的常用方法：

判定方法	条件	字母简记
三边对应相等	$AB=DE,BC=EF,AC=DF$	SSS
两边和夹角对应相等	$AB=DE,\angle B=\angle E,BC=EF$	SAS
两角和夹边对应相等	$\angle B=\angle E,BC=EF,\angle C=\angle F$	ASA
两角和其中一角对边对应相等	$\angle B=\angle E,\angle C=\angle F,AC=DF$	AAS
直角三角形斜边和一直角边对应相等	Rt$△$ 中斜边、直角边对应相等	HL

典例精析

已知 $△ABC$ 和 $△DEF$ 中，$AB=DE$，$\angle B=\angle E$，$BC=EF$。求证：$△ABC\cong △DEF$。

证明：在 $△ABC$ 和 $△DEF$ 中，

$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ \angle B=\angle E\\ BC=EF\end{array}$

$\therefore △ABC\cong △DEF$（SAS）。

对比

方法	适用范围	注意
SSS、SAS、ASA、AAS	任意三角形	不能用 SSA
HL	仅直角三角形	须先证为直角三角形
AAA	仅相似	不能保证全等

找条件的四条线索

证明全等最常见的困难是「条件不够」。可以按这个顺序把条件凑齐：

1. 已知条件：题目直接给出的边相等、角相等，先标在图上
2. 公共边 / 公共角：两个三角形共用的边或角，是最容易被忽略的隐含条件
3. 对顶角：两直线相交得到的对顶角相等
4. 平行线：由平行得同位角相等、内错角相等

多数证明题用上其中两三条，再加一个已知条件就够了。

为什么 SSA 不行

已知两边和其中一边的对角（SSA）时，三角形不唯一：以已知角的顶点为端点、以已知边长为半径画弧，与角的另一边可能交于两点，得到两个形状不同的三角形（一个锐角、一个钝角）。因此 SSA 不能作为判定依据。

唯一的例外是直角三角形的 HL——此时已知角是直角，弧与射线只有一个交点，三角形唯一。这也解释了为什么 HL 只在直角三角形中成立。

与其他知识的联系

全等三角形是初中几何推理的第一块基石：平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，证明过程几乎都要先证一对三角形全等。

往上走，全等是相似的特例（相似比为 $1$）。到了相似三角形与三角函数，许多结论不再要求「完全重合」，但只要涉及线段相等、角相等的证明，第一反应仍然是找全等。