相似三角形的判定

定义

相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则称这两个三角形相似。记作 $△ABC\sim △DEF$，其中对应顶点的字母按相同顺序排列。

即若 $△ABC\sim △DEF$，则：

$\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k$

其中 $k$ 称为相似比（对应边的比值）。当 $k=1$ 时两三角形全等，故全等是相似的特例。

书写约定：$△ABC\sim △DEF$ 中字母顺序必须对应——$A$ 对 $D$、$B$ 对 $E$、$C$ 对 $F$。写错顺序会直接导致后面列比例式时把对应边配错，这是相似题丢分的隐蔽源头。

推导

相似三角形的判定定理有三条，分别对应不同的已知条件。

判定 1（AA，两角对应相等）：两角分别相等的两个三角形相似。设 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，由三角形内角和定理得 $\angle C=\angle F$，三组角对应相等，故 $△ABC\sim △DEF$。这是最常用的判定方法。

判定 2（SAS，两边对应成比例且夹角相等）：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。若 $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$ 且 $\angle A=\angle D$（夹角），则 $△ABC\sim △DEF$。注意夹角必须是两边所夹的角，不能是非夹角。

判定 3（SSS，三边对应成比例）：三组边对应成比例的两个三角形相似。若 $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$，则 $△ABC\sim △DEF$。

判定	已知条件	记法
判定 1	两角对应相等	AA
判定 2	两边对应成比例且夹角相等	SAS
判定 3	三边对应成比例	SSS

为什么「SSA」不行：两边及其中一边的对角（非夹角）相等，不能唯一确定三角形的形状——给定两边和一边对角，可能画出两个不同的三角形。所以「两边成比例 + 一个非夹角相等」不是有效的相似判定，判定 2 里必须强调「夹角」。

典例精析

例 1：在 $△ABC$ 与 $△DEF$ 中，已知 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$。判断两三角形是否相似，并求相似比。

由两组角对应相等，根据 AA 判定，$△ABC\sim △DEF$。若 $AB=6$，$DE=3$，则相似比 $k=\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2$，对应周长之比为 $2$，面积之比为 $2^2=4$。

例 2：已知 $△ABC$ 中 $AB=4$，$BC=6$，$CA=8$；$△DEF$ 中 $DE=2$，$EF=3$，$FD=4$。判断是否相似。

计算三组对应边之比：$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{CA}{FD}=\frac{8}{4}=2$。三边对应成比例，由 SSS 判定 $△ABC\sim △DEF$，相似比为 $2$。

对比

判定	记法	已知条件	最适用场景
两角	AA	两组角相等	有平行线、公共角、对顶角时最快
两边夹角	SAS	两边成比例 + 夹角相等	有公共边或比例明显时
三边	SSS	三边成比例	三组边长都已知时
（无效）	SSA	两边 + 非夹角	不能判定，别用

与其他知识的联系

• 全等三角形：全等是相似比 $k=1$ 的特例。全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）与相似的判定一一对应：把「相等」升级为「成比例」，就得到相似判定，二者记忆可打通。
• 平行线分线段成比例：AA 判定最常借助平行线（同位角/内错角相等）得到两组角相等，故平行线是相似判定的”天然触发器”。
• 相似三角形的性质：判定确认相似后，紧接着用性质推出周长比、面积比、对应线段比，判定是入口、性质是出口。
• 直角三角形相似判定：直角三角形里 AA 退化成一个锐角相等即可，另多一条「斜边 + 直角边成比例」的特有判定。