线段垂直平分线的性质

定义

性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。

判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

两条定理互为逆定理，合起来说明：线段的垂直平分线就是「到两端点距离相等的所有点」（轨迹视角）。用这个视角看题目往往更顺手：看到 $PA=PB$，就该想到 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上；看到 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，立刻得到 $PA=PB$。

要注意的是，「垂直平分」包含两个条件：过中点且垂直。只垂直不过中点，或只过中点不垂直，都不具有这个性质。此外，垂直平分线是对线段说的，射线和直线谈不上垂直平分线。

推导

性质：直线 $l$ 垂直平分线段 $AB$ 于 $O$，点 $P$ 在 $l$ 上，求证 $PA=PB$。

在 $△POA$ 与 $△POB$ 中：

$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ \angle POA=\angle POB=90^{\circ }\\ PO=PO\end{array}$

其中 $OA=OB$ 来自「平分」，直角来自「垂直」，$PO$ 是公共边。故 $△POA\cong △POB$（SAS），于是 $PA=PB$。$■$

判定：$PA=PB$，求证 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。

过 $P$ 作 $PO\perp AB$ 于 $O$。由 HL 判定，Rt$△POA\cong$ Rt$△POB$（$PA=PB$，$PO$ 公共），得 $OA=OB$，即 $O$ 是 $AB$ 中点。故直线 $PO$ 垂直且平分 $AB$，$P$ 在其上。$■$

两定理互为逆定理，合起来说明：垂直平分线就是「到两端点等距的点」的全体（轨迹定义）。

尺规作图的依据

作线段 $AB$ 的垂直平分线：分别以 $A$、$B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}AB$ 的同一长度为半径画弧，两弧交于 $M$、$N$ 两点，连接 $MN$ 即为所求。

它的正确性来自判定定理：$MA=MB$（半径相同），故 $M$ 在垂直平分线上；同理 $N$ 也在。两点确定一条直线，于是直线 $MN$ 就是那条垂直平分线。

三角形的外心

三角形三条边的垂直平分线交于一点，称为外心，它到三个顶点的距离相等，因此以它为圆心可以作出三角形的外接圆。作两条垂直平分线即可确定此点——第三条必然也经过它。

外心的位置随三角形形状而变：

• 锐角三角形：外心在三角形内部
• 直角三角形：外心在斜边的中点（斜边中线等于斜边的一半，正是这条结论的推论）
• 钝角三角形：外心在三角形外部

典例精析

$△ABC$ 中，$AB=AC=10$，$AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于 $D$，$BC=6$，求 $△DBC$ 的周长。

由性质定理：$DA=DB$。故

$C_{△DBC}=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=10+6=16$

关键一步是用 $DA$ 替换 $DB$：垂直平分线把折线 $DB+DC$ 接成了整条线段 $AC$，周长于是化为已知两边之和。这类题几乎都用这一招。

再练一道：要在 $A$、$B$、$C$ 三个村庄之间建一座供水站，使它到三个村庄的距离相等，站点应建在何处？

答：作 $AB$ 与 $BC$ 两边垂直平分线的交点。由判定定理，该点到 $A$、$B$ 等距，也到 $B$、$C$ 等距，故到三村等距。作两条就够了，第三条必然也经过此点（三角形外心）。

对比

	性质定理	判定定理
条件	点在垂直平分线上	点到两端等距
结论	到两端等距	在垂直平分线上
依据	SAS 全等	HL 全等
应用	求线段长、转化等线段	尺规作图、确定轨迹

与其他知识的联系

垂直平分线是轴对称的直接产物——线段是轴对称图形，它的垂直平分线正是那条对称轴。所以「对应点的连线被对称轴垂直平分」与本页的两条定理，说的是同一件事的两种形式。

它有两个直接的下游结论：等腰三角形中顶角平分线就是底边的垂直平分线（即「三线合一」）；三角形三条垂直平分线的交点（外心）给出外接圆的圆心。