循环小数和有限小数

为什么会出现「除不尽」

学生第一次遇到 $1÷3$ 时，最常见的反应是「我算错了」。

可以在黑板上老老实实除一遍：

$1÷3=0.333\dots$

每一步余数都是 1，商就永远是 3——除不尽不是算错了，而是这个数本身就写不完。

这时候引入一个比喻很管用：就像 $\frac{1}{3}$ 这个数，用小数表示时「说不完」，只能用省略号或者循环节来表示。

什么样的分数能除尽

这一条是本节最有价值的内容，也是初中学习有理数的基础。

一个最简分数，分母只含质因数 2 和 5 时，能化成有限小数；否则只能化成循环小数。

原因是十进制：只有分母能写成 $10$、$100$、$1000\dots$ 的因数（即只含 2 和 5）时，才能把分数化成有限小数。

小学阶段不要求学生会证明，但让他们记住「看分母有没有 2 和 5 以外的质因数」，做题就能快很多。

近似值与精确值：约等号不能省

这是最高频的失分点。

$\frac{1}{3}=0.333\dots \text{但}\frac{1}{3}\approx 0.33$

前者是精确值（用等号），后者是保留两位小数的近似值（必须用约等号 $\approx$）。

学生常写 $\frac{1}{3}=0.33$，在考试中被判错。可以在课堂上反复强调：只要截断了，就要写约等号。

常见的保留要求：

• 保留两位小数：$0.333\dots \approx 0.33$
• 保留一位小数：$0.333\dots \approx 0.3$
• 精确到百分位：即保留两位小数

典例精析

例 1 把 $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$ 化成小数。

$\frac{1}{3}=0.333\dots =0.\dot{3}$

$\frac{1}{6}=0.1666\dots =0.1\dot{6}$（注意循环节只有 6，不是 16）

$\frac{1}{7}=0.142857142857\dots =0.\dot{1}4285\dot{7}$

$\frac{1}{6}$ 这一题最值得讲：循环节是从第二位开始的，学生容易把整个 16 当成循环节。判断方法是看从哪一位开始重复。

例 2 比较 $0.\dot{3}$ 与 $0.34$ 的大小。

$0.\dot{3}=0.333\dots$，$0.34=0.340$。

从十分位比起：都是 3；百分位：$3<4$，所以 $0.\dot{3}<0.34$。

例 3 $1÷7$ 保留三位小数是多少？

$1÷7=0.142857\dots$，保留三位看第四位（8，进位），得 $1÷7\approx 0.143$。

例 4 判断：$\frac{9}{25}$ 能化成有限小数吗？

$25=5^2$，只含质因数 5，能化成有限小数：$\frac{9}{25}=0.36$。

课堂上的真实错法

错法一：把循环小数写截断。 $\frac{1}{3}=0.33$。用约等号纠正。

错法二：循环节找错。 $\frac{1}{6}$ 的循环节写成 16。让学生多除几位，看清「从哪一位开始重复」。

错法三：认为除不尽是算错了。 老老实实在黑板上除十步，让他看到余数一直在重复。

错法四：比较大小时只看两位。 认为 $0.\dot{3}=0.33$ 然后与 $0.34$ 比较。提醒把循环节多写几位再比。

给家长的讲法

让孩子亲手算一次 $1÷3$，让他自己发现「怎么永远除不完」——这个发现比任何讲解都有力。

然后告诉他：「除不完」不是你算错了，是这个数用小数写不完，所以数学家发明了循环节的记法。

练的时候重点抓两件事：

1. 写近似值必须用约等号——这是考试扣分最多的地方，练十道就记住了
2. 循环节要从真正开始重复的那一位算起——拿 $\frac{1}{6}$ 练，他一眼就能看出是 6 在循环而不是 16

至于「分母只含 2 和 5 才能除尽」这条，可以让他自己试：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{20}$ 都能除尽，而 $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$、$\frac{1}{9}$ 不行——规律他自己就能猜出来。