一元二次不等式

定义

一元二次不等式：形如 $a{x}^2+bx+c>0$（或 $\ge$、$<$、$\le$、$\ne$）的不等式，其中 $a\ne 0$。

推导

三个二次的关系：一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c\gtrless 0$ 的解集由二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图象在 $x$ 轴上方（$>0$）或下方（$<0$）的部分对应的 $x$ 区间决定，先看判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 求对应方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根，再判读。

设 $a>0$（必要时两边同乘 $-1$ 化为 $a>0$）：

$\Delta$ 情况	方程根	$a{x}^2+bx+c>0$ 解集	$a{x}^2+bx+c<0$ 解集
$\Delta >0$	两不等实根 $x_1<x_2$	$(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$	$(x_1,x_2)$
$\Delta =0$	等根 $x_0=-\frac{b}{2a}$	$\mathbb{R}\setminus \{x_0\}$	$\varnothing$
$\Delta <0$	无实根	$\mathbb{R}$	$\varnothing$

含等号时把 $\varnothing$ 不变，其他在端点处补取（方括号）。

典例精析

例 1：解不等式 $x^2-5x+6>0$。

因式分解 $(x-2)(x-3)>0$，$a=1>0$，两根 $x_1=2$、$x_2=3$。

由”大于取两边”得解集 $(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$。

例 2：解不等式 $-x^2+4x-3\ge 0$。

两边同乘 $-1$ 得 $x^2-4x+3\le 0$，因式分解 $(x-1)(x-3)\le 0$。

$a=1>0$，两根 $1$ 和 $3$，由”小于取中间且含等号”得解集 $[1,3]$。

例 3：解不等式 $x^2-2x+2<0$。

$\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times 2=-4<0$，$a=1>0$，抛物线开口向上且在 $x$ 轴上方，故 $y<0$ 无解。

解集为 $\varnothing$。

对比

项目	一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$	一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$
求解对象	方程的根（具体数值）	解集（$x$ 区间）
工具	求根公式 / 因式分解	二次函数图象 + 方程根
$\Delta >0$	两不等实根	开口向上：两根之外
$\Delta =0$	等根	开口向上：除根之外
$\Delta <0$	无实根	开口向上：全实数