不等式及其解集与性质

定义

用不等号 $>$、$<$、$\ge$、$\le$、$\ne$ 表示大小关系的式子，叫做不等式。

• 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。与方程通常只有一个或几个解不同，不等式一般有无数个解。
• 不等式的解集：一个不等式的所有解的集合。如 $x-1>2$ 的解集是 $x>3$。
• 解不等式：求出不等式解集的过程。
• $\ge$ 表示「大于或等于」（不小于），$\le$ 表示「小于或等于」（不大于），端点处取等号。

解集在数轴上的表示

不等关系	端点画法	方向
$x>a$	空心圆圈	向右
$x\ge a$	实心圆点	向右
$x<a$	空心圆圈	向左
$x\le a$	实心圆点	向左

记忆方法：等号是实心，不含等号是空心；大于向右、小于向左。

推导：不等式的性质

性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。

若 $a>b$，则 $a\pm c>b\pm c$。

性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

若 $a>b$，$c>0$，则 $ac>bc$。

性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

若 $a>b$，$c<0$，则 $ac<bc$。

性质 3 的道理在数轴上：以 $3>1$ 为例，两边同乘 $-1$ 得 $-3$ 与 $-1$。在数轴上 $-3$ 在 $-1$ 的左侧，故 $-3<-1$，不等号必须反向。这与七上的结论一致——两个负数比较，绝对值大的反而小。$■$

与等式性质的对比

变形	等式	不等式
两边同加同减同一个数	仍相等	方向不变
两边同乘同除正数	仍相等	方向不变
两边同乘同除负数	仍相等	方向改变
两边同乘 0	两边都为 0	原不等号失效，不用

解方程可以放心地「系数化为 1」；解不等式多一个动作：先看系数正负，负数立刻变号。

典例精析

利用不等式的性质将 $3x-5<1$ 化为 $x<a$ 的形式：

两边同加 $5$（性质 1）：$3x<6$；两边同除以正数 $3$（性质 2）：$x<2$。

再练一道含负系数的：将 $2-\frac{x}{2}\ge 5$ 化为 $x\le a$ 的形式。

两边减 $2$：$-\frac{x}{2}\ge 3$；两边乘 $-2$（性质 3，变号）：$x\le -6$。

与其他知识的联系

不等式的性质是解一元一次不等式与不等式组的全部依据，与一元一次方程的解法步骤几乎同构，只差「负数变号」这一步。到了八年级，一次函数值何时大于零、两个函数图像谁在上，都翻译成不等式；九年级二次方程的判别式条件、二次根式被开方数非负、分式分母不为零，处处是不等式约束。

学本节只需守住一条底线：动等号随便，动不等号先看乘除的是正还是负。