韦达定理的推导与适用条件

定理陈述

设一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ 的两根为 $x_1,x_2$，当 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$ 时：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

即：两根之和等于一次项系数除以二次项系数再取相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。

使用前提有两条：$a\ne 0$，以及 $\Delta \ge 0$。第二条最容易被忽略——$\Delta <0$ 时方程在实数范围内没有根，自然谈不上「两根之和」。（进了高中引入复数之后，这两条关系在 $\Delta <0$ 时仍成立，但初中实数范围内不能这么用。）

符号是最集中的失分点：两根之和是 $-\frac{b}{a}$，前面有负号；两根之积 $\frac{c}{a}$ 没有负号。记不住时用 $x^2-5x+6=0$ 检验——它的两根是 $2$、$3$，和为 $5=-\frac{-5}{1}$，积为 $6=\frac{6}{1}$。

推导

从求根公式出发，逐步推导：

步骤	式子	依据
1	$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$	求根公式
2	$x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$	分子相加，$\sqrt{\Delta }$ 项相消
3	$x_1{x}_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{c}{a}$	代入 $\Delta =b^2-4ac$

第 3 步展开来看：分子是平方差

$(-b+\sqrt{\Delta })(-b-\sqrt{\Delta })=b^2-\Delta$

代入 $\Delta =b^2-4ac$ 得 $b^2-(b^2-4ac)=4ac$，除以分母 $4a^2$ 即得 $\frac{c}{a}$。$■$

求和时根号项正负相消、求积时根号项由平方差消掉——这是整条推导的两个关键动作。

四条常用变形

题目往往不直接问 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$，而是问它们的组合。四类最常考：

所求	变形公式
两根平方和	$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$
倒数和	$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$
两根差的绝对值	$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$
两根互为相反数 / 倒数	$x_1+x_2=0$（即 $b=0$）/ $x_1{x}_2=1$（即 $c=a$）

第三条可以直接从求根公式的两根相减得到，不必解方程求值，也常用来求「两根之差」的几何意义（如抛物线与 $x$ 轴两个交点间的距离）。

反过来用：已知两数的和与积

韦达定理还能倒着用：若两个数 $p$、$q$ 满足 $p+q=S$、$pq=P$，则 $p$、$q$ 就是方程

$x^2-Sx+P=0$

的两个根。这条可用来构造方程求未知数，也是因式分解里「十字相乘法」的理论依据。

典例精析

例 1：方程 $x^2-5x+6=0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，不解方程求 $x_1+x_2$、$x_1{x}_2$ 与 $x_1^2+x_2^2$。

由韦达定理：$x_1+x_2=5$，$x_1{x}_2=6$。进而

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=25-12=13$

（验证：两根为 $2$、$3$，$2^2+3^2=13$，一致。）

例 2：方程 $2x^2-4x+1=0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，求 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$。

先检验 $\Delta =16-8=8>0$，可以使用。由韦达定理得 $x_1+x_2=2$、$x_1{x}_2=\frac{1}{2}$，故

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{2}{1/2}=4$

例 3：某方程两根之和为 $3$、积为 $-4$，写出这个方程。

由 $x^2-Sx+P=0$，取 $a=1$ 得 $x^2-3x-4=0$。它的两根是 $4$ 与 $-1$，和为 $3$、积为 $-4$，符合题意。

常见错：忘了先验证 $\Delta \ge 0$。方程 $x^2+x+1=0$ 的 $\Delta =-3<0$，实数范围内无根，此时套用两根之和得到的 $-1$ 没有任何意义。

与其他知识的联系

韦达定理把「根」与「系数」直接连了起来，不必解方程就能谈论根的性质。它有三个下游：判别式决定根的取舍、二次函数与 $x$ 轴交点的横坐标之和为 $-\frac{b}{a}$、因式分解里的十字相乘法。

再往后，高中把它推广为一元 $n$ 次方程的根与系数关系，用处进一步扩大。