整式的乘法

定义

整式乘法分三类法则：

1. 单项式 × 单项式：系数相乘作为积的系数，同底数幂按 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 相乘，只在一个因式里出现的字母连同指数照抄。
2. 单项式 × 多项式：按分配律把单项式分别乘多项式的每一项，再把所得积相加：

$m(a+b+c)=ma+mb+mc$

3. 多项式 × 多项式：把一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再合并同类项。

三条法则的依据其实只有两条：乘法交换律与结合律（处理系数和字母）和分配律（处理多项式）。把它们连用多次，就能处理任意两个整式相乘。

幂的三条运算性质

整式乘法离不开幂的运算，三条性质必须先分清：

运算	法则	示例
同底数幂相乘	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$x^2\cdot x^3=x^5$
幂的乘方	$(a^m{)}^n=a^{mn}$	$(x^2{)}^3=x^6$
积的乘方	$(ab{)}^n=a^n{b}^n$	$(2x{)}^3=8x^3$

最容易混的是前两条：都是指数运算，到底是相加还是相乘？判别办法是看形式——$a^m\cdot a^n$ 是「相乘」，指数相加；$(a^m{)}^n$ 是「乘方」，指数相乘。

同底数幂相除是第四条性质：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a\ne 0$，$m$、$n$ 为正整数），仍是「底数不变」，指数由相减得到。当 $m=n$ 时推出零指数幂：$a^0=1$（$a\ne 0$），即任何非零数的 $0$ 次幂都等于 $1$；指数为负的情形（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$）在分式一章随整数指数幂学习。

运算	法则	示例
同底数幂相除	$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a\ne 0$）	$x^5÷x^2=x^3$
零指数幂	$a^0=1$（$a\ne 0$）	$(-3{)}^0=1$

推导

多项式乘多项式的展开过程（核心思想：分配律连用两次）：

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

合并同类项后得到最终结果：

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

项数有个规律：两个多项式分别有 $m$、$n$ 项时，展开后合并前有 $m\times n$ 项。这条规律可用来检验有没有漏项——展开后数一数项数对不对。

一个高频的特殊形式

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

即：两个一次因式相乘且二次项系数为 $1$ 时，一次项系数是两常数之和，常数项是两常数之积。

它是因式分解中「十字相乘」的根据，也是口算 $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$ 的捷径。

检验办法

展开后不确定对不对，可以代入一个具体的 $x$ 值，看左右两边是否相等。例如检验 $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$：取 $x=1$，左边 $3\times (-2)=-6$，右边 $1-1-6=-6$，一致。它只能查错，不能代替推导，但很实用。

整式的除法

乘法的逆运算分两类：

1. 单项式除以单项式：系数与同底数幂分别相除，只在被除式里出现的字母连同指数照抄。如 $12x^3{y}^2÷3xy=4x^{2}y$。
2. 多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加：

$(ma+mb+mc)÷m=a+b+c$

注意 $0$ 不能作除数，因此除式整体不得为 $0$。多项式除以多项式在初中一般通过因式分解后约分处理。

添括号法则

运用乘法公式时，常需要先添括号把式子配成公式的形式。法则与去括号正好相反：

• 括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号：$a+b-c=a+(b-c)$
• 括号前面是负号，括到括号里的各项都变号：$a-b+c=a-(b-c)$

添括号后可立即用去括号检验，两者互逆，能还原就说明没添错。例如把 $x^2-2x+3$ 配成完全平方形式：$x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1{)}^2+2$，括号前是正号，括号内各项不变号。

典例精析

例 1 计算 $(-2x^{2}y)\cdot (3x{y}^2)$。

解：系数 $(-2)\times 3=-6$；$x^2\cdot x=x^3$；$y\cdot y^2=y^3$，所以

$(-2x^{2}y)\cdot (3x{y}^2)=-6x^3{y}^3$

例 2 计算 $(x+2)(x-3)$。

解：按 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ 展开：

$(x+2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot (-3)+2\cdot x+2\cdot (-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$

也可以直接用特殊形式 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$：一次项系数 $2+(-3)=-1$，常数项 $2\times (-3)=-6$，同样得 $x^2-x-6$。

例 3 计算 $(2x-1)(x^2-3x+2)$。

解：把 $2x$ 与 $-1$ 分别乘后面的三项：

$(2x-1)(x^2-3x+2)=2x^3-6x^2+4x-x^2+3x-2$

合并同类项（把 $x^2$ 项与 $x$ 项分别合并）：

$=2x^3-7x^2+7x-2$

展开后共 $2\times 3=6$ 项，合并为 $4$ 项，项数对得上，说明没有漏乘。

常见错：把 $(a+b)(c+d)$ 直接写成 $ac+bd$，漏掉了交叉的两项 $ad$ 与 $bc$。

与其他知识的联系

整式乘法是后面几块内容的公共工具：乘法公式（平方差、完全平方）是它的特殊情形，直接套用可省去逐项展开；因式分解是它的逆运算；函数解析式的化简、方程的化简求解，最后一步常常就是多项式相乘。

因此这一节真正要练的是「不漏项、不丢符号」——展开前先数清项数（$m\times n$），展开后逐项检查符号。