平方差公式的推导与套用

定义

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

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结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同（$a$），另一项互为相反数（$+b$ 与 $-b$）。

判定的口诀是「一同一反」：先把两个括号里的项对齐，若有一项完全一样、另一项只差一个负号，就能套平方差公式；若两项都相同（或都相反），则要用完全平方公式。

公式里的 $a$、$b$ 不只是单个字母，可以是数，也可以是整式（如 $2x$、$x+y$）。识别时要把它们当作整体来看。

推导

按多项式乘法展开：

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

其中 $-ab$ 与 $+ab$ 合并为 $0$。交叉项恰好抵消，是这条公式成立的根本原因——换成 $(a+b)(a+b)$ 就不会抵消，而是留下 $2ab$，那正是完全平方公式。

面积法的直观：画一个边长为 $a$ 的大正方形，从一角剪去边长为 $b$ 的小正方形，剩下部分面积为 $a^2-b^2$；再把这块图形沿一条线剪开、重新拼成一个长为 $(a+b)$、宽为 $(a-b)$ 的长方形，面积就是 $(a+b)(a-b)$。同一块图形用两种方法算面积，故二者相等。

四种常见变形

1. 位置变化：$(b+a)(a-b)$、$(-a+b)(a+b)$——先交换项的位置，看清「一同一反」再套
2. 符号变化：$(-x+y)(-x-y)$ 中相同项是 $-x$、相反项是 $\pm y$，结果为 $(-x{)}^2-y^2=x^2-y^2$
3. 系数变化：$(2x+3)(2x-3)$ 中 $a=2x$、$b=3$，结果为 $(2x{)}^2-3^2=4x^2-9$，不是 $2x^2-9$
4. 整体识别：$(x+y+z)(x+y-z)$ 把 $x+y$ 看作 $a$、$z$ 看作 $b$，结果为 $(x+y{)}^2-z^2$

第 3 条是最常见的失分点：漏掉括号导致系数没有被平方。

速算中的应用

两个接近整十、整百的数相乘，可以凑成平方差：

$99\times 101=(100-1)(100+1)=100^2-1=9999$

$103\times 97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991$

关键是先找出两数的中间数：$103$ 与 $97$ 的中间数是 $100$，它们与中间数的差是 $3$。

典例精析

例 1 计算 $(x+2)(x-2)$。

解：相同项 $a=x$，相反项 $b=2$：

$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$

例 2 计算 $(2x+3)(2x-3)$。

解：$a=2x$、$b=3$，注意 $2x$ 要整体平方：

$(2x+3)(2x-3)=(2x{)}^2-3^2=4x^2-9$

例 3 计算 $(x+y+z)(x+y-z)$。

解：把 $x+y$ 视为整体：

$(x+y+z)(x+y-z)=(x+y{)}^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2$

错例：$(a+b)(a+b)$ 不能用平方差公式——两项完全相同，不是「一同一反」，应用完全平方公式得 $a^2+2ab+b^2$。

对比

公式	结构	结果项数	典型误用
平方差 $(a+b)(a-b)$	一同一反	两项 $a^2-b^2$	把 $(a-b{)}^2$ 算成 $a^2-b^2$
完全平方 $(a\pm b{)}^2$	两项相同或都相反	三项，含 $\pm 2ab$	漏掉中间项 $2ab$

与其他知识的联系

平方差公式的价值在两处：一是速算，二是因式分解——把公式反过来用就是 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这是分解因式的第一招。

再往后，分母有理化用的也是平方差：分子分母同乘「共轭」因式，正是为了让根号通过平方差消掉，例如

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$