北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：幂的运算 → 整式乘法 → 乘法公式 → 整式除法。

七年级上册的整式运算只涉及加减，本章把运算升级到乘除。核心只有一条：幂的运算法则。单项式相乘、多项式相乘、乘法公式、整式除法，都是把幂的法则与乘法分配律组合起来使用。

全章的关键，是把“指数相加、指数相乘、系数乘方”这几件事彻底分清。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 幂的乘除	掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方	幂的四条运算法则
1.2 整式的乘法	单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式	整式乘法的一般流程
1.3 乘法公式	平方差公式与完全平方公式	公式的正用与逆用
1.4 整式的除法	单项式除以单项式、多项式除以单项式	整式除法的基本运算

顺序不能颠倒：幂的法则是整式乘法的地基，整式乘法又是乘法公式的来源，除法则是乘法的逆运算。

1.1 幂的乘除

同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}(a\ne 0,m,n\text{ 为正整数}).$

幂的乘方：底数不变，指数相乘。 $(a^m{)}^n=a^{mn}.$

积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 $(ab{)}^n=a^n{b}^n.$

同底数幂相除：底数不变，指数相减。 $a^m÷a^n=a^{m-n}(a\ne 0,m>n).$

此外规定 $a^0=1(a\ne 0)$，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\ne 0,p\text{ 为正整数})$。负整数指数幂把除法与幂统一起来。

四条法则最容易混的是前两条：$a^2\cdot a^3=a^5$ 是指数相加，$(a^2{)}^3=a^6$ 是指数相乘。

1.2 整式的乘法

单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。例如 $(-3a^{2}b)(2a{b}^3)=-6a^3{b}^4.$

单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，依据是乘法分配律。 $m(a+b+c)=ma+mb+mc.$

多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项。 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

多项式乘法最容易漏项。两个多项式分别有 $m$ 项和 $n$ 项，乘开后在合并前应有 $mn$ 项，可以用这个数检查是否漏乘。

1.3 乘法公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的 $2$ 倍。 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$

两个公式都可以由多项式乘法直接推出。使用时先看结构：出现“和乘差”想平方差，出现“整个式子的平方”想完全平方。公式中的 $a,b$ 可以是数，也可以是单项式或多项式，例如 $(2x+3y)(2x-3y)=4x^2-9y^2$。

完全平方公式有三项，中间项的符号与括号内的符号一致，这是最容易出错的地方。

1.4 整式的除法

单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。例如 $6a^3{b}^2÷2ab=3a^{2}b.$

多项式除以单项式：把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 $(ma+mb)÷m=a+b.$

整式除法是乘法的逆运算，可以用“商乘除数等于被除式”来检验结果。除式不能为 $0$，这是所有除法运算的共同前提。

本章的三条主线结论

1. 幂的法则看运算类型：同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式都要乘方
2. 整式乘法靠分配律：单项式乘多项式、多项式乘多项式，都是逐项相乘再合并
3. 两个乘法公式要会推导：平方差看“和乘差”，完全平方看“整体的平方”，中间项不能丢

最容易被考的是幂的四条法则与乘法公式，最容易丢分的是符号和漏项。

自测

先自己判断，再看答案：

1. $a^2\cdot a^3$ 等于多少？——$a^5$，同底数幂相乘指数相加
2. $(a^2{)}^3$ 等于多少？——$a^6$，幂的乘方指数相乘
3. $(2a{)}^3$ 等于多少？——$8a^3$，系数 $2$ 也要乘方
4. $(x+3)(x-3)$ 等于多少？——$x^2-9$，平方差公式
5. $(x+2{)}^2$ 展开是什么？——$x^2+4x+4$，不能漏中间项 $4x$
6. $12a^3{b}^2÷4ab$ 等于多少？——$3a^{2}b$

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 1、2 题混淆，说明幂的法则还没分清，整式乘法会连续出错。

学完本章之后

本章是整式运算的升级：

• 八年级下册《因式分解》：乘法公式反过来用，就是把多项式化成乘积形式
• 八年级下册《分式与分式方程》：分式的约分与通分，依赖本章的幂的运算与因式分解
• 九年级上册《一元二次方程》：配方法直接使用完全平方公式
• 高中《指数函数与对数函数》：幂的运算法则推广到实数指数

把幂的法则练成条件反射，把两个乘法公式练到能正用、逆用，后续的因式分解、分式与方程都会顺很多。