比例的基本性质

定义

四个数 $a$、$b$、$c$、$d$ 满足 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d\ne 0$），叫做成比例的数（比例线段中 $a、d$ 为外项，$b、c$ 为内项）。

基本性质：

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc$

由此推出：

• 更比性质：$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$（交换内项）；
• 合比性质：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$；
• 等比性质：若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots =\frac{m}{n}=k$，且 $b+d+\cdots +n\ne 0$，则

$\frac{a+c+\cdots +m}{b+d+\cdots +n}=k$

推导

基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 两边同乘 $bd$（$b、d\ne 0$），得 $ad=bc$；反过来两边同除以 $bd$ 回到原式。$■$

更比：由 $ad=bc$ 两边同除以 $cd$，得 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$。$■$

合比：从 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 两边各加 $1$：

$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1⟹\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

两边各减 $1$ 即得减（分比）的形式。$■$

等比：设 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots =\frac{m}{n}=k$，则 $a=kb$、$c=kd$、……、$m=kn$，于是

$\frac{a+c+\cdots +m}{b+d+\cdots +n}=\frac{k(b+d+\cdots +n)}{b+d+\cdots +n}=k$

（分母不为 $0$ 时约去。）$■$

比例中项：$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ 由基本性质得 $b^2=ac$。射影定理中的 $A{C}^2=AD\cdot AB$、黄金分割的 $A{C}^2=AB\cdot CB$ 都是比例中项结构。

典例精析

例 1（设 k 法 + 等比性质）已知 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$，且 $x+y+z=30$，求 $x$、$y$、$z$。

设比值为 $k$，则 $x=2k$、$y=3k$、$z=5k$。由等比性质（或直接相加）：

$2k+3k+5k=30⟹k=3$

故 $x=6$、$y=9$、$z=15$。

例 2（合比性质）已知 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，求 $\frac{a+b}{b}$ 与 $\frac{a-b}{b}$ 的值。

由合比性质，两边各加 $1$、各减 $1$：

$\frac{a+b}{b}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3},\frac{a-b}{b}=\frac{2-3}{3}=-\frac{1}{3}$

提醒：合比是「分子分母整体加减」，即 $\frac{a+b}{b}$ 对应 $\frac{c+d}{d}$，不是只动分子。前提是分母 $b、d\ne 0$。

对比

性质	形式	典型用途
基本	$ad=bc$	比例式化乘积式
更比	$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$	调整比例顺序
合比	$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$	分段与全段互化
等比	和之比等于公比	设 k 法求比值

与其他知识的联系

• 相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，所有比例式的变形（交叉相乘、合比、等比）都依赖本页的性质，是相似题列式与求解的代数基础。
• 平行线分线段成比例：由 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ 推出 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，用的正是合比/分比性质。
• 黄金分割与射影定理：黄金分割的 $A{C}^2=AB\cdot CB$、射影定理的 $A{C}^2=AD\cdot AB$ 都是「比例中项」$b^2=ac$ 的具体实例。
• 一元一次方程：设 $k$ 法把连比转化为一元一次方程求解，是比例问题最通用的代数策略。