相似三角形的性质

定义

相似三角形 $△ABC\backsim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的相似比为 $k$（对应边之比 $AB:A^{\prime }{B}^{\prime }=k$），则：

1. 对应角相等；
2. 一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线）的比都等于 $k$；
3. 周长比等于 $k$；
4. 面积比等于 $k^2$。

辨析：以上四条只有「对应角」不随 $k$ 缩放（始终相等），其余线段与周长按 $k$ 缩放，面积按 $k^2$ 缩放。记比例时务必分清：边长比 = 周长比 = 相似比 $k$，面积比 = $k^2$，两者相差一个平方，这是九下相似最常考的分水岭。

推导

对应线段的比：以对应高为例。作对应高 $AD$、$A^{\prime }{D}^{\prime }$。由 $\angle B=\angle B^{\prime }$、$\angle ADB=\angle A^{\prime }{D}^{\prime }{B}^{\prime }=90^{\circ }$，得 Rt$△ABD\backsim$ Rt$△A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$，相似比同为 $k$，故

$\frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k$

对应中线、对应角平分线同理：它们在对应顶点处分出的小三角形也分别相似，比值恒为 $k$。$■$

周长比：

$\frac{C_{△ABC}}{C_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{AB+BC+CA}{A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{k\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }+k\cdot B^{\prime }{C}^{\prime }+k\cdot C^{\prime }{A}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }{A}^{\prime }}=k■$

（等比定理：分母各项同乘 $k$，总和也乘 $k$。）

面积比：三角形面积 $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$，底与高都按 $k$ 缩放：

$\frac{S}{S^{\prime }}=\frac{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD}{\frac{1}{2}\cdot B^{\prime }{C}^{\prime }\cdot A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=k\cdot k=k^2■$

典例精析

例 1（面积比与相似比）$△ABC\backsim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，相似比为 $3:4$，小三角形面积为 $36$，求大三角形面积与周长比。

面积比为相似比的平方 $9:16$：

$\frac{36}{S^{\prime }}=\frac{9}{16}⟹S^{\prime }=64$

周长比等于相似比：$C:C^{\prime }=3:4$。

例 2（对应线段与面积反求）已知 $△ABC\backsim △DEF$，面积比 $S_{△ABC}:S_{△DEF}=25:16$，且 $△ABC$ 中 $BC$ 边上的高为 $10$，求 $△DEF$ 中对应边 $EF$ 上的高。

由面积比反求相似比，需开平方：

$k=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

即 $△ABC$ 到 $△DEF$ 的相似比是 $5:4$（$ABC$ 是”大”的）。对应高的比等于相似比：

$\frac{10}{h_{EF}}=\frac{5}{4}⟹h_{EF}=8$

易错提醒：已知面积比 $25:16$ 求相似比，很多同学直接写成 $25:16$，漏了开平方。面积比 $=k^2$，边长比 $=k$，反推必须先开根号。

对比

量	与相似比 k 的关系
对应角	相等（比值 1，不缩放）
对应线段（边/高/中线/角平分线）	比为 $k$
周长	比为 $k$
面积	比为 $k^2$
已知面积比反求相似比	开平方

与其他知识的联系

• 相似三角形的判定：先由「判定」确认相似，再由本页「性质」推出线段比、周长比、面积比，判定是”入口”、性质是”出口”，两者配合构成相似题的完整链条。
• 位似图形：位似是特殊的相似（对应点连线交于一点），因此位似图形的边长比、周长比、面积比同样满足本页性质，位似比就是相似比 $k$。
• 平行线分线段成比例：它是推导相似比的重要工具，常与相似三角形性质联合出题（如三角形中位线、重心分中线）。
• 相似三角形的应用：测高、测距（利用影长、标杆）本质就是利用相似比 $k$ 换算实际长度，与面积比、周长比的性质同源。