二倍角公式

定义

正弦二倍角：

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

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余弦二倍角（三种等价形式）：

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$

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正切二倍角：

$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

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推导

在和角公式中令 $\beta =\alpha$：

正弦：

$\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

余弦：

$\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 替换，可得另外两种形式。

降幂公式

由余弦二倍角公式反解，得到降幂公式（升幂公式的逆）：

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2},{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

降幂公式用于把二次三角函数降为一次，便于降次、化简与求值。

典例精析

例 1 已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha$ 为第二象限角，求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$。

先求 $\cos \alpha$：第二象限 $\cos \alpha <0$，

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{3}{5}\times \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\times \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$

（这里选 $1-2{\sin }^2\alpha$ 形式最方便，因为已知 $\sin \alpha$。）

例 2 化简 $\frac{2\tan 15^{\circ }}{1-{\tan }^{2}15^{\circ }}$。

这正是正切二倍角公式的右边，角是 $2\times 15^{\circ }=30^{\circ }$：

$=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$

例 3 用降幂公式化简 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$。

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 2x}{2}=1$

（这也验证了恒等式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$。）

对比

公式	形式	用途
$\sin 2\alpha$	$2\sin \alpha \cos \alpha$	升幂、化简
$\cos 2\alpha$	${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$	基本形式
$\cos 2\alpha$	$2{\cos }^2\alpha -1$	已知 $\cos \alpha$ 时方便
$\cos 2\alpha$	$1-2{\sin }^2\alpha$	已知 $\sin \alpha$ 时方便

注意事项

$\sin 2\alpha \ne 2\sin \alpha$：必须有 $\cos \alpha$。用 $\alpha =30^{\circ }$ 检验：$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，而 $2\sin 30^{\circ }=1$，显然不等。

$\cos 2\alpha$ 的三个形式：

• ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$：对称，最基本
• $2{\cos }^2\alpha -1$：只用 $\cos \alpha$
• $1-2{\sin }^2\alpha$：只用 $\sin \alpha$

选哪个取决于题目已知哪个量。

正切公式定义域：当 $\alpha =\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ 时，$\tan \alpha$ 或 $\tan 2\alpha$ 无意义，正切二倍角公式不适用。