两角和与差的三角函数公式

定义

正弦：

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

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余弦：

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

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正切：

$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

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符号规律

函数	和角	差角	口诀
$\sin$	$+$	$-$	符号同角
$\cos$	$-$	$+$	符号反角
$\tan$	分子 $+$，分母 $-$	分子 $-$，分母 $+$	分子同、分母反

正弦的符号与角的和差相同（同号），余弦的符号与角的和差相反（异号）。

推导（余弦差角公式）

在单位圆上取点 $A(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 和 $B(\cos \beta ,\sin \beta )$，$\angle AOB=\alpha -\beta$。

由两点距离公式：

$A{B}^2=(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2$

展开并利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$：

$A{B}^2=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$

另一方面，由余弦定理：

$A{B}^2=1^2+1^2-2\cos (\alpha -\beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$

比较两式得：

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

其余公式可由诱导公式从余弦差角公式推出。

典例精析

例 1 求 $\sin 75^{\circ }$ 的值。

$\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })$

$=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

例 2 化简 $\cos (\alpha +\beta )\cos \beta +\sin (\alpha +\beta )\sin \beta$。

观察结构，这正是余弦差角公式的右边，其中角是 $(\alpha +\beta )-\beta =\alpha$：

$=\cos [(\alpha +\beta )-\beta ]=\cos \alpha$

例 3 已知 $\tan \alpha =2$，$\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\tan (\alpha +\beta )$。

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{2+\frac{1}{3}}{1-2\times \frac{1}{3}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=7$

与其他知识的联系

和差角公式是三角恒等变换的核心。二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差都可以由它推导出来。辅助角公式

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

也是正弦和角公式的逆用。

注意事项

不能分配：$\sin (\alpha +\beta )\ne \sin \alpha +\sin \beta$。三角函数不是线性函数，不能像乘法分配律那样展开。

符号记忆：正弦「同号」、余弦「异号」。可以用特殊值检验：取 $\alpha =\beta =30^{\circ }$，$\cos (30^{\circ }+30^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$；按减号算 $\cos 30^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 30^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ✓；若错写成加号，则得 $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\ne \frac{1}{2}$，立刻能发现错误。