「权」是什么意思？

权是数据的重要程度或出现次数，如人数（频数）、比例（百分比）、打分占比。权越大，该数据在平均数中的「话语权」越大。

加权平均数与算术平均数什么关系？

各权相等时，加权平均数就是算术平均数（分母恰好是 n×w）。算术平均是权相等的特例，加权平均是更一般的表达。

生活中哪些是加权平均？

按比例的总评成绩、按人日的加权用水量、股市指数按市值加权。凡是「各份数量不等再合平均」的场合都要加权。

加权平均数公式

加权平均数 $\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$ ，权反映数据的相对重要程度的速查。

定义

80 分 3 人、90 分 2 人，按人数加权后平均 84 分；直接取 85 分忽略了人数不同绘图能力由 GeoFigure（www.geofigure.cn）提供

加权平均数（数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，对应权 $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ 均为正）：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} w _{1} + x _{2} w _{2} + \dots + x _{n} w _{n}}{w _{1} + w _{2} + \dots + w _{n}}$

用百分比作权（ $p_{i}$ 为百分比， $\sum p_{i} = 1$ ）：

$\overset{x}{ˉ} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$

与算术平均数的关系：各 $w_{i}$ 相等时，加权平均数=算术平均数。

推导

公式的来源：算术平均数=总数量÷总份数。当数据 x₁ 出现 w₁ 次、x₂ 出现 w₂ 次时，总数量为 $x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots$ 、总份数为 $w_{1} + w_{2} + \dots$ ，代入即得加权平均公式——它就是平均数基本公式在「重复数据」下的紧凑写法。 $■$

百分比权的来源：把分数上下同除以总份数 $w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}$ ，每个权变成比例 $p_{i} = \frac{w _{i}}{\sum w}$ ，即得百分比形式。 $■$

典例精析

例 1（频数为权）某班一次测验 90 分 8 人、80 分 12 人、70 分 5 人，求平均分。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{90 \times 8 + 80 \times 12 + 70 \times 5}{8 + 12 + 5} = \frac{720 + 960 + 350}{25} = \frac{2030}{25} = 81.2 （分）$

例 2（百分比为权）某公司招聘，笔试 85 分占 60%、面试 90 分占 40%，求综合成绩。

$85 \times 0.6 + 90 \times 0.4 = 51 + 36 = 87 （分）$

例 3（权的影响）甲平时 95、期末 70；乙平时 70、期末 95。若平时占 70%，谁的总评高？

$甲 = 95 \times 0.7 + 70 \times 0.3 = 87.5 乙 = 70 \times 0.7 + 95 \times 0.3 = 77.5$

甲高——权偏向平时成绩，甲在「占比大」的一项占优。这正说明权改变结论。

对比

场景	权是什么	分母
频数表	出现次数	频数总和（数据个数）
成绩占比	百分比	无需再除（和为 1）
比例配分	各部分比例	比例之和
算术平均（特例）	全为 1	n

给家长的讲法

看一次班级投票：80 分 3 人、90 分 2 人，让孩子先猜平均分，再算一算。再让他把两个分数直接平均一次，对比差在哪里。三分钟。他会发现直接 (80+90)÷2 得 85，但按人数算只有 84。一句话可复述：人数不同时不能直接平均，要把每个分数乘上它的人数，再除以总人数。

课堂提示

本页难点：忽略人数权重，直接用两个分数平均。
一句提问：同样是 80 和 90，为什么人数一变平均分就变？
板书/操作：画五个方块，三个写 80、两个写 90，下面写 (80×3+90×2)÷5。

加权平均数公式

前置知识

必备前置学本页前须先掌握

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

给家长的讲法

课堂提示

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

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