基本初等函数导数公式表

Q: √x 与 1/x² 的导数怎么记？

都化成幂函数：$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 得 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$；$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ 得 $-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$。一条公式覆盖所有整数、分数指数。

Q: 为什么只有 $e^x$ 的导数是它自己？

由 $(a^x)^\prime=a^x\ln a$，要使 $\ln a=1$ 需 $a=e$。e 正是让指数函数「变化率等于函数值」的那个底数。

基本初等函数导数公式表

基本初等函数求导速查表：幂函数 $(x^\alpha)^\prime=\alpha x^{\alpha-1}$ 、指数、对数、正余弦共 8 条， $(e^x)^\prime=e^x$ 。

前置知识

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导数的运算

适用前提与边界条件

函数在所求点处可导（先看定义域内是否连续光滑）
幂函数公式中 α 为任意实常数

定义

导数定义式（公式表的来源）：

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$

基本初等函数导数公式表（c、a 为常数， $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）：

原函数	导函数	备注
$y = c$	$y^{'} = 0$	常数不变化
$y = x^{α}$	$y^{'} = α x^{α - 1}$	幂函数，含 $x$ 、 $\frac{1}{x}$
$y = a^{x}$	$y^{'} = a^{x} ln a$	底数不变、多乘 $ln a$
$y = e^{x}$	$y^{'} = e^{x}$	特例：导数等于自身
$y = lo g_{a} x$	$y^{'} = \frac{1}{x l n a}$	$x > 0$
$y = ln x$	$y^{'} = \frac{1}{x}$	特例
$y = sin x$	$y^{'} = cos x$
$y = cos x$	$y^{'} = - sin x$	注意负号

推导

幂函数公式（以 $α = 2$ 为例）：平均变化率 $\frac{( x + Δ x ) ^{2} - x ^{2}}{Δ x} = 2 x + Δ x$ ，令 $Δ x \to 0$ 得 $2 x$ ，与 $α x^{α - 1}$ 相符。一般 α 由二项式展开或对数求导法说明。 $■$

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ：平均变化率 $\frac{l n ( x + Δ x ) - l n x}{Δ x} = \frac{1}{Δ x} ln (1 + \frac{Δ x}{x})$ ，令 $\frac{Δ x}{x} \to 0$ ，用重要极限 $ln (1 + t) \sim t$ 得极限为 $\frac{1}{x}$ 。 $■$

其余各条同样由定义式配合重要极限推出，教材在 §5.2 直接给出表格供查用。

典例精析

例 1（整式函数） $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ ，求 $f^{'} (1)$ 与曲线在 $x = 1$ 处切线斜率。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ ，故 $f^{'} (1) = 1$ ——切线斜率就是它。

曲线在 x=1 处的切线斜率等于 f′(1)=1，正好是导数值。绘图能力由 GeoFigure（www.geofigure.cn）提供

例 2（含根号与分式）求 $y = x - \frac{1}{x}$ 的导数。

化成幂函数： $y = x^{\frac{1}{2}} - x^{- 1}$ ，

$y^{'} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{- 2} = \frac{1}{2 x} + \frac{1}{x ^{2}}$

对比

函数对	导函数关系	记忆点
$e^{x}$ 与 $a^{x}$	前者保持自身，后者多乘 $ln a$	e 是「变化率=函数值」的底
$ln x$ 与 $lo g_{a} x$	前者 $\frac{1}{x}$ ，后者 $\frac{1}{x l n a}$	ln 是最简情形
$sin x$ 与 $cos x$	分别得 $cos x$ 、 $- sin x$	奇偶互换 + cos 带负号

正例与反例

✅ 正例

$f(x)=x^3-2x+1$ ： $f^\prime(x)=3x^2-2$ ，故 $f^\prime(1)=1$
$y=\sqrt{x}$ ： $y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

❌ 反例

$(2^x)^\prime=2^x$ ——漏乘 $\ln 2$ ，应为 $2^x\ln 2$
把 $(\log_a x)^\prime$ 与 $(\ln x)^\prime$ 混淆——前者是 $\frac{1}{x\ln a}$ ，只有 $\ln x$ 的导数才是 $\frac{1}{x}$

高频误解与考试易错

$(x^\alpha)^\prime=\alpha x^{\alpha-1}$ 是「指数降一次、原指数作系数」， $(x^2)^\prime=2x$ 不是 2
$(\cos x)^\prime=-\sin x$ 带负号，与 $(\sin x)^\prime=\cos x$ 符号行为不同
$(a^x)^\prime=a^x\ln a$ 不要漏乘 $\ln a$ ；只有 $(e^x)^\prime=e^x$ 保持自身不变

常见问题

√x 与 1/x² 的导数怎么记？

都化成幂函数：

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

得

\frac{1}{2\sqrt{x}}

；

\frac{1}{x^2}=x^{-2}

得

-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}

。一条公式覆盖所有整数、分数指数。

为什么只有

e^x

的导数是它自己？

由

(a^x)^\prime=a^x\ln a

，要使

\ln a=1

需

a=e

。e 正是让指数函数「变化率等于函数值」的那个底数。

公式表之外的函数怎么办？

用四则运算法则与链式法则把复杂函数拆成公式表内的基本函数处理（见导数运算法则页）。

依据与出处

人教 A 版（2019 审定）选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》§5.2

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适用前提与边界条件

定义

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对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

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