解三角形公式集

推导

正弦定理：在 $△ABC$ 的外接圆中，直径 $CD=2R$，连 $BD$，则 $\angle D=\angle A$（同弧圆周角），Rt$△DBC$ 中 $BC=2R\sin D=2R\sin A$，即 $a=2R\sin A$。同理得其余两边，连除即得比例式。$■$

余弦定理：以 A 为原点、AB 为 x 轴建系，则 $B(c,0)$、$C(b\cos A,b\sin A)$，由两点距离：

$a^2=B{C}^2=(b\cos A-c{)}^2+(b\sin A{)}^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

它是勾股定理在斜三角形中的推广：角为直角时第三项消失。$■$

面积公式：以 $BC$ 为底，高 $h=b\sin C$（在以 $AC=b$ 为斜边的直角三角形中），故 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$；同理得另两式。把 $a=2R\sin A$ 代入 $\frac{abc}{4R}$ 得 $\frac{1}{2}bc\sin A$，两种形式一致。$■$

（完整证明见正弦定理、余弦定理的推导页。）

典例精析

例 1（SSA 两解）$△ABC$ 中 $a=\sqrt{3}$、$b=\sqrt{2}$、$B=45°$，求 A。

$\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$A=60°$ 或 $120°$。因为 $b<a$，角 B 不是最大角，两个 A 都能与 $B=45°$ 组成三角形（和小于 180°），故两解都成立。

例 2（余弦定理求角与面积）三边为 $a=2$、$b=3$、$c=\sqrt{7}$，求角 C 与面积。

边 $c$ 的对角：$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+9-7}{12}=\frac{1}{2}$，故 $C=60°$。

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

对比

给家长的讲法

用三根吸管搭一个三角形，量出三条边和三个角，记在本子上。让孩子说说已知哪几个量就能求出其余的量。三分钟。再用量角器验证最大边对着最大角。一句话可复述：正弦定理把边与对角连成比例，余弦定理用两边和夹角求第三边。

课堂提示

• 本页难点：已知两边及一边对角时可能有两解，不能只取锐角。
• 一句提问：余弦定理里 a²＝b²＋c²−2bc cosA，A 必须是哪条边的对角？
• 板书/操作：画三角形标 a、b、c、A、B、C，分别写出正弦、余弦、面积三式。