一元二次方程求根公式

定义

求根公式：一元二次方程

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

当 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$ 时，两根为

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

使用的五个步骤

1. 化为一般式：把方程整理成 $a{x}^2+bx+c=0$ 的形式，右边为 $0$
2. 确定 $a$、$b$、$c$：连同符号一起写下来。这一步最容易错的是漏负号——$(x-1{)}^2$ 展开后 $b=-2$ 而不是 $2$
3. 算 $\Delta$：$\Delta =b^2-4ac$。注意 $ac$ 为负时 $-4ac$ 是加，如 $a=1$、$c=-3$ 时 $\Delta =b^2+12$
4. 判断：$\Delta <0$ 直接下结论「无实数根」，不必继续；$\Delta \ge 0$ 才代入公式
5. 代入并化简：结果中的根号要化为最简二次根式，能约分的要约分

常见错

错误	正确做法
代入时漏掉 $b$、$c$ 的负号	先写清 $a$、$b$、$c$ 各等于几，再代入
分母写成 $2a^2$ 或 $a$	分母是 $2a$，来自「两边同除以 $a$」这一步
$\Delta <0$ 仍硬算出根	实数范围内无平方根，应写「无实数根」
根号没有化简	如 $\sqrt{8}$ 应写成 $2\sqrt{2}$ 并约分

公式本身不用背结论，跟着下面的推导走一遍就记住了——它的每一步都是常规变形。

推导（配方法）

第 1 步：二次项系数化为 1，两边同除以 $a$：

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

第 2 步：常数项移到右边：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

第 3 步：配方——两边加上一次项系数一半的平方 ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$：

$x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

左边是完全平方式：

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

第 4 步：右边能否开平方取决于分子 $b^2-4ac$：

• 若 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$，开平方得

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}⟹x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• 若 $\Delta <0$，右边为负，实数范围内无平方根，方程无实数根。$■$

典例精析

解方程 $2x^2-5x+1=0$。

$a=2$、$b=-5$、$c=1$，$\Delta =25-8=17>0$：

$x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$

即 $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。

再练一道含负系数的：解方程 $x^2-2x-3=0$。

$a=1$、$b=-2$、$c=-3$，$\Delta =4-4\times 1\times (-3)=4+12=16$：

$x=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$

得 $x_1=3$，$x_2=-1$。这里 $-4ac$ 因 $c<0$ 变成了加 $12$，正是最典型的符号陷阱。

对比

$\Delta$ 值	根的情况
$\Delta >0$	两个不相等的实数根
$\Delta =0$	两个相等的实数根 $x=-\frac{b}{2a}$
$\Delta <0$	无实数根

验根的办法：把求出的根代回原方程检验，或者用韦达定理快速核对——两根之和应为 $-\frac{b}{a}$、两根之积应为 $\frac{c}{a}$。上例中 $3+(-1)=2=-\frac{-2}{1}$，$3\times (-1)=-3=\frac{-3}{1}$，都吻合。

与其他知识的联系

求根公式是配方法的产物，也是整个一元二次方程这一节的工具终点——其余各种解法（因式分解、配方）都可以在它这里得到检验。

它把三个内容连在一起：判别式决定有没有根，韦达定理（由公式两根相加相乘得到）描述两根的关系，二次函数图象与 $x$ 轴的交点则是这两根的几何形象。