完全平方公式

定义

$$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$$

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语言表述：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）这两数积的 2 倍。

结果的形状要记牢：首平方、尾平方、首尾乘积的两倍放中央，一共三项。若展开式只有两项，先检查是不是漏了中间项。

推导

用多项式乘法展开 $(a+b{)}^2$：

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

把 $b$ 换成 $-b$ 即得差的形式：

$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

面积法的直观：画一个边长为 $(a+b)$ 的大正方形，按边上的分点切成四块——边长 $a$ 的正方形、边长 $b$ 的正方形，以及两个 $a\times b$ 的长方形。四块面积之和正是 $a^2+2ab+b^2$。这也解释了中间项为什么是 $2ab$ 而不是 $ab$：那样的长方形有两个。

三条常用变形

把公式反过来写，同样有用：

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$

$(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2(a^2+b^2)$

已知两数和与两数积求和的平方、或已知两数和与差求积，用的就是这几条。它们在代数式求值与二次函数的配方里反复出现。

怎么识别能套公式

• 同一个二项式自乘：$(2x-3y{)}^2$、$(-a-b{)}^2$ 都可套
• 符号处理：$(-a-b{)}^2=(a+b{)}^2$（整体提出负号再平方）；$(b-a{)}^2=(a-b{)}^2$
• 三项判别：一个三项式能写成完全平方，须满足「两头是两个式子的平方、中间是它们乘积的 $\pm 2$ 倍」

典例精析

例 1 计算 $(x+3{)}^2$。

解：令 $a=x$，$b=3$，代入和公式：

$(x+3{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$

例 2 计算 $(2x-1{)}^2$。

解：令 $a=2x$，$b=1$，代入差公式：

$(2x-1{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 1+1^2=4x^2-4x+1$

例 3 速算 $102^2$。

解：拆成 $(100+2{)}^2$：

$102^2=(100+2{)}^2=100^2+2\times 100\times 2+2^2=10000+400+4=10404$

例 4 已知 $a+b=5$、$ab=6$，求 $a^2+b^2$。

解：用变形 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$：

$a^2+b^2=5^2-2\times 6=25-12=13$

易错提醒：$(a-b{)}^2\ne a^2-b^2$。前者是完全平方公式（结果三项），后者是平方差公式的误用，二者不可混淆。

对比

	完全平方 $(a\pm b{)}^2$	平方差 $(a+b)(a-b)$
相乘的两个因式	相同	一同一反
结果项数	三项（含 $\pm 2ab$）	两项（$a^2-b^2$）
交叉项	相加得 $\pm 2ab$，不抵消	$-ab+ab$ 抵消为 $0$

与其他知识的联系

完全平方公式的反向使用就是配方法：把 $x^2+6x+5$ 写成 $(x+3{)}^2-4$，正是「凑出完全平方」。配方是解一元二次方程、求二次函数顶点坐标的核心步骤。

此外，因式分解里「完全平方式」的判定（$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$）与本页是同一条公式的两个方向。