坐标旋转变换：转个角度看圆锥曲线

常见表现形式

• 消去二次曲线方程的 $xy$ 交叉项
• 把 $xy=1$ 这类斜双曲线化为标准双曲线
• 一般二元二次方程的曲线分类
• 物理中转动参考系的坐标换算

为什么要旋转

一般二次方程 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 若 $B\ne 0$，曲线相对坐标轴「倾斜」。取旋转角使

代入变换后，交叉项 $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 的系数恰为 0，方程化为无交叉项的形式，再平移配方即得椭圆或双曲线的标准方程。

典例精析

例（化简 $xy=1$） 方程 $xy=1$ 含交叉项，取 $\theta =45^{\circ }$。

由 $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入变换：

即 $\frac{x^{\prime 2}}{2}-\frac{y^{\prime 2}}{2}=1$——一条等轴双曲线。原来反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象，就是旋转 $45^{\circ }$ 的双曲线。

辨析与提醒

• 谁转：转的是坐标系（观察角度），不是图形。新旧坐标公式别写反。
• 转角公式：$\tan 2\theta =\frac{B}{A-C}$，用二倍角是因为旋转角在化简时以 $2\theta$ 出现。
• 先转后移：含交叉项的先旋转消 $xy$，再平移配方；顺序颠倒会重新引入交叉项。

跨学段衔接

初中「旋转」认识了图形绕点转动；高中在圆锥曲线标准方程的基础上，坐标旋转用三角函数描述坐标换算，可消去交叉项、化简一般二次曲线（现行教材未单列，多在强基、拓展题中出现）；大学「线性代数」用正交矩阵统一处理旋转，「二次型」理论正是二次曲线化简的高维推广。坐标旋转变换体现了「换参考系简化问题」的深刻思想。