格点面积模型（皮克定理）：数点就算面积

求解策略

1. 验格点：确认多边形每个顶点都在单位正方形格点上
2. 数内点 $a$：只数严格在图形内部的格点
3. 数边点 $b$：逐边数「格数 $+1$」，四个顶点重复计数，合计后减 4
4. 代入：$S=a+\frac{b}{2}-1$，可用普通面积公式验证

模型结构

如图，矩形 $ABCD$ 放在单位正方形格点阵上，横向占 $6$ 格、纵向占 $5$ 格，边框上共有 $22$ 个格点（含四个顶点），矩形内部有 $20$ 个格点。

核心结论与推导

皮克定理：若格点多边形（每个顶点都在单位正方形格点上）的内部格点数为 $a$，边界格点数为 $b$，则

$S=a+\frac{b}{2}-1.$

推导（用矩形验证并理解）：如图矩形面积直接可得

$S=6\times 5=30.$

内部格点不贴边：$(6-1)\times (5-1)=20$ 个，每个完整贡献 $1$ 个单位面积，共 $20$；边界点贴在边上，每个只被圈进半个单位，贡献 $\frac{1}{2}$，边界共 $2\times (6+5)=22$ 个点，贡献 $11$；四角环绕凑整时多算了 $1$，需找回 $1$：

$S=20+\frac{22}{2}-1=30,$

与直接计算完全一致。$■$

典例精析

例：一个格点三角形，内部格点有 $4$ 个，三条边上的格点分别为 $5$ 个、$4$ 个、$3$ 个（已含顶点）。求它的面积。

解：边界点要先去掉重复计的三个顶点：$b=(5+4+3)-3=9$。由皮克定理，

$S=a+\frac{b}{2}-1=4+\frac{9}{2}-1=\mathrm{7.5.}$

常见变式

1. 格点三角形：数点后代入，与「底乘高除以 2」互为验证。
2. 凹格点多边形：公式照样成立，边界点沿所有边逐段数。
3. 点阵比大小：不计算只数点，快速比较多个格点图形的面积。

对比与联系