多边形内角和定理

定义

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的线段叫多边形的边，相邻两边的公共端点叫顶点，相邻两边组成的角叫内角，多边形的一边与它邻边的延长线组成的角叫外角。连接多边形不相邻两个顶点的线段叫对角线。

多边形按边数命名为三角形、四边形、五边形……$n$ 边形；各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。初中主要研究凸多边形（画出任何一条边所在直线，整个多边形都在直线同一侧）。

内角和定理：$n$ 边形的内角和等于 $(n-2)\times 180°$。

外角和定理：任意多边形的外角和等于 $360°$，与边数无关。

正多边形：各边相等、各角相等；每个内角为 $\frac{(n-2)\times 180^{\circ }}{n}$，每个外角为 $\frac{360^{\circ }}{n}$。

正多边形的外角公式往往比内角公式好用：正六边形每个外角 $60^{\circ }$、正八边形每个外角 $45^{\circ }$，一眼可读；内角则是 $180^{\circ }$ 减去外角。

推导

内角和：$n$ 边形 $A_1{A}_2\cdots A_n$，从顶点 $A_1$ 出发引对角线。

$A_1$ 不能连自身，也不能连相邻的 $A_2$ 和 $A_n$（那是边不是对角线），故可连 $A_3,A_4,\cdots ,A_{n-1}$，共 $n-3$ 条对角线。

这 $n-3$ 条对角线把 $n$ 边形分割成 $n-2$ 个三角形（$△A_1{A}_2{A}_3$、$△A_1{A}_3{A}_4$、$\cdots$、$△A_1{A}_{n-1}{A}_n$）。

每个三角形内角和为 $180^{\circ }$，且 $n$ 边形的所有内角恰好被这些三角形的内角覆盖：

$(n-2)\times 180^{\circ }■$

两个数字容易记混：过一个顶点可引 $n-3$ 条对角线，分割出 $n-2$ 个三角形，对角线条数比三角形个数少 $1$。

外角和：$n$ 边形每个顶点处内角与外角互补，故外角和等于

$n\times 180^{\circ }-(n-2)\times 180^{\circ }=360^{\circ }$

与 $n$ 无关。$■$

另一个更直观的理解：沿多边形走一圈回到出发点、朝向也转回初始方向，途中转过的角度总和正好是一周 $360^{\circ }$。这说明「外角和与边数无关」是走一圈必然回到原方向的结果。

对角线的总条数

每个顶点可引 $n-3$ 条对角线，$n$ 个顶点共 $n(n-3)$ 条，但每条对角线被它的两个端点各数了一次，故

$\frac{n(n-3)}{2}$

例如五边形有 $\frac{5\times 2}{2}=5$ 条，六边形有 $\frac{6\times 3}{2}=9$ 条。这个公式常与内角和出现在同一道题里。

由内角和反推边数

已知内角和为 $S$，由 $(n-2)\times 180^{\circ }=S$ 解得

$n=\frac{S}{180^{\circ }}+2$

例如内角和 $1800^{\circ }$，则 $n=10+2=12$，是十二边形。注意最后要加 $2$，漏掉它就会少算两条边。

多边形镶嵌

用同一种正多边形铺满平面（不留空隙、不重叠），要求拼接在同一顶点处的各个角之和恰好为 $360^{\circ }$：

• 正三角形：每内角 $60^{\circ }$，$6$ 个拼成 $360^{\circ }$，可行
• 正方形：每内角 $90^{\circ }$，$4$ 个拼成 $360^{\circ }$，可行
• 正六边形：每内角 $120^{\circ }$，$3$ 个拼成 $360^{\circ }$，可行（蜂巢的形状）
• 正五边形：每内角 $108^{\circ }$，$3$ 个得 $324^{\circ }$、$4$ 个得 $432^{\circ }$，都差着，不可行

判定的办法就是看 $360^{\circ }$ 能否被每个内角整除。

典例精析

一个多边形的内角和是外角和的 $3$ 倍，求边数。

设边数为 $n$：

$(n-2)\times 180^{\circ }=3\times 360^{\circ }=1080^{\circ }⟹n-2=6⟹n=8$

故为八边形。它的每个外角为 $360^{\circ }/8=45^{\circ }$，每个内角为 $135^{\circ }$。

再练一道：一个多边形的每个内角都是 $150^{\circ }$，求边数。

每个外角为 $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$，由外角和 $360^{\circ }$ 得 $n=360^{\circ }/30^{\circ }=12$，是十二边形。用外角算比用内角和公式列方程快得多——这是解「已知每个内角求边数」的标准捷径。

对比

形	内角和	外角和	对角线总数
三角形	$180^{\circ }$	$360^{\circ }$	$0$
四边形	$360^{\circ }$	$360^{\circ }$	$2$
五边形	$540^{\circ }$	$360^{\circ }$	$5$
六边形	$720^{\circ }$	$360^{\circ }$	$9$
$n$ 边形	$(n-2)\times 180^{\circ }$	$360^{\circ }$	$\frac{n(n-3)}{2}$

与其他知识的联系

多边形内角和是三角形内角和的直接推广，而它的推导方法（分割成三角形）本身也反复被使用：正多边形的边长与外接圆半径的关系，靠的就是把它分割成直角三角形来算。

外角和恒为 $360^{\circ }$ 这个结论在圆这一章会以另一种形式重现——圆周角定理。而镶嵌问题则把多边形的内角与「周角 $360^{\circ }$」直接接在了一起。