矩形的性质与判定

定义

矩形：有一个角是直角的平行四边形。

性质：矩形的四个角都是直角；对角线相等。

判定：

1. 有一个角是直角的平行四边形（定义）
2. 对角线相等的平行四边形
3. 有三个角是直角的四边形

推导

性质 1：四个角都是直角。设平行四边形 $ABCD$ 中 $\angle A=90°$。

由平行四边形对角相等：$\angle C=\angle A=90°$；由邻角互补：$\angle B=180°-\angle A=90°$，$\angle D=90°$。$■$

性质 2：对角线相等。在 $△ABC$ 与 $△DCB$ 中：

$\{\begin{array}{l}AB=DC(\text{平行四边形对边})\\ \angle ABC=\angle DCB=90°\\ BC=CB(\text{公共边})\end{array}$

$\therefore △ABC\cong △DCB$（SAS），故 $AC=DB$。$■$

判定 2（对角线相等的平行四边形）：平行四边形 $ABCD$ 中 $AC=BD$。仍由上面的图，由 SSS 得 $△ABC\cong △DCB$（$AB=DC$、$BC=CB$、$AC=DB$），故 $\angle ABC=\angle DCB$；又 $AB\parallel CD$，这两个角互补，故各为 $90°$，由定义 $ABCD$ 是矩形。$■$

判定 3（三个直角的四边形）：三个内角为 $90°$，由四边形内角和 $360°$，第四个角也是 $90°$，两组对角分别相等，故是平行四边形，再由定义是矩形。$■$

典例精析

矩形 $ABCD$ 对角线交于 $O$，$\angle AOD=120°$，$AB=4$，求对角线长。

矩形对角线相等且互相平分：$OA=OD$，$△AOD$ 是等腰三角形，

$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180°-120°}{2}=30°$

在 Rt$△ABD$ 中 $\angle ADB=30°$，$30°$ 角对的直角边 $AB$ 是斜边 $BD$ 的一半（见含 30° 角的直角三角形定理）：

$BD=2AB=8$

对比

	平行四边形	矩形
角	对角相等	四角皆直角
对角线	互相平分	互相平分且相等
对称性	中心对称	中心对称 + 轴对称（两条）