花瓣四圆模型：四圆过心围成的花瓣面积

求解策略

1. 认构：四圆等半径，圆心到 $O$ 的距离 $=$ 半径（相邻圆心距 $=\sqrt{2}r$），$A$、$B$、$C$、$D$ 为相邻两圆的外交点
2. 分瓣：认清四片全等花瓣，每片由两个四分之一圆叠出
3. 叠加分：八扇形 $=$ 两整圆，面积 $2\pi r^2$
4. 去重：花瓣 $=2\pi r^2-S_{ABCD}=2\pi r^2-4r^2$

模型结构

如图，四个半径同为 $r$ 的圆，圆心分别位于虚线正方形四边的中点（上、右、下、左）；每个圆都经过正方形的中心 $O$ 和相邻两个顶点，相邻两圆的交点依次为 $A$、$B$、$C$、$D$（虚线连成边长 $2r$ 的正方形）。相邻两圆在正方形内部重叠出四片花瓣。

核心结论与推导

设每个圆的半径为 $r$。

结论：四片花瓣的总面积为

$S_{花瓣}=2\pi r^2-4r^2=(2\pi -4)r^2.$

推导：交点正方形 $ABCD$ 边长为 $2r$，面积为 $4r^2$。把正方形按四个叶瓣分成四个全等的小正方形，每个小正方形（边长 $r$）里有相邻两圆各贡献的一个四分之一圆：两个扇形面积和为

$2\times \frac{1}{4}\pi r^2=\frac{1}{2}\pi r^2.$

这两个扇形盖住小正方形时，花瓣被重复计算了一次，由「合 $=$ 分 $+$ 叠」，一片花瓣面积为

$S_{瓣}=\frac{1}{2}\pi r^2-r^2.$

四片花瓣合计：

$S_{花瓣}=4\left(\frac{1}{2}\pi r^2-r^2\right)=(2\pi -4)r^2.$

也可整体看：八个四分之一圆恰为两个整圆（面积 $2\pi r^2$），铺满正方形时重复部分恰为四片花瓣，故 $S_{花瓣}=2\pi r^2-4r^2$。$■$

典例精析

例：如图，四个等圆半径都是 $2\text{ cm}$。求四片花瓣的总面积（$\pi$ 取 $3.14$）。

解：由花瓣四圆模型，

$S_{花瓣}=(2\times 3.14-4)\times 2^2=2.28\times 4=9.12{\text{ cm}}^2.$

常见变式

1. 求空白：正方形减花瓣得四角与四周的空白面积：$4r^2-(2\pi -4)r^2=(8-2\pi )r^2$。
2. 半花瓣型：只涂两片对顶花瓣，面积取一半 $(\pi -2)r^2$。
3. 四半圆花瓣：以正方形四边为直径向内作四个半圆，花瓣面积 $=$ 两圆面积 $-$ 正方形面积，推导完全同构。

对比与联系