浓度母题：混合配比中的不变量
两种不同浓度溶液混合，溶质总量不变。用一元一次方程、方程组都能解，算术「十字交叉法」则是同一等量关系的图示化。
答案：20% 盐水取 克，5% 盐水取 克。
前置知识
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适用前提与边界条件
- 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%
- 混合前后溶质总量与溶液总量分别守恒（不计挥发）
知识地图
一道题，3 条路。小学到初中的工具轮番上场，每一步都只是旧知识的新组合。
解法① 十字交叉法（算术） 小学
核心工具：比例、按比例分配
画十字：左端写两种浓度 20 与 5，中心写目标 15，交叉相减：
- （对角写向低浓度一侧） - （对角写向高浓度一侧）
高、低两种盐水的取量比 =（目标与低浓度之差）：（高浓度与目标之差），即 20% 盐水占 、5% 盐水占 ：
点睛：十字交叉是「溶质守恒」的图示化：浓度差互为反比，一眼读出配比。
体现思想：数形结合、模型思想
解法② 一元一次方程 初中
核心工具：一元一次方程、百分数
设取 20% 盐水 克，则 5% 盐水取 克。混合前后盐的质量不变：
即 ，，。
所以取 20% 盐水 200 克、5% 盐水 100 克。
点睛：「混合前盐的总质量 = 混合后盐的质量」一句话，就是整道题的方程。
体现思想：方程思想
解法③ 二元一次方程组 初中
核心工具：二元一次方程组
设 20% 盐水 克、5% 盐水 克。溶液总量与盐量各守恒：
由第一式 代入第二式，同样解得 ，。
点睛：两个守恒律对应两个方程——「总量守恒 + 溶质守恒」是混合类问题的天然方程组。
体现思想：方程思想
思想方法总结
七种解法看似不同，背后是同一套思想在反复起作用：
| 思想 | 出现在哪些解法 | 起什么作用 |
|---|---|---|
| 方程思想 | 一元一次方程、二元一次方程组 | — |
| 数形结合 | 十字交叉法（算术） | — |
| 模型思想 | 十字交叉法（算术） | — |
生活应用
这类「条件最值」不是考试专属，生活中到处可见：
（待补充）
变式训练
- 把 200 g 20% 的盐水稀释成 10%，需要加多少克水？ （提示：盐 40 g 不变，稀释后溶液 g，加水 200 g。）
- 要把 300 g 15% 的盐水变成 25%，需要蒸发掉多少克水？ （提示：盐 g 不变，目标溶液 g，蒸发 g。）
为什么值得学三种解法
浓度问题的全部秘密藏在一条守恒律里：混合前后，盐的总质量不变。方程解把它直接翻译成等式；方程组版则展示「双守恒」结构；十字交叉法把它压缩成一张图，是算术思维的精华。三种解法难度递减、抽象程度递增，考试时选顺手的，学习时都该走一遍——尤其值得对照十字交叉与方程，看清「图示」背后的代数骨架。
正例与反例
✅ 正例
- 200 g 20% 盐水含盐 40 g，100 g 5% 盐水含盐 5 g，合计 300 g 溶液含盐 45 g，浓度 。
❌ 反例
- 「往 20% 盐水里加 5% 盐水，浓度一定变成 12.5%」错：混合浓度介于 5% 与 20% 之间，具体值由两者的质量比决定。
高频误解与考试易错
- 浓度取平均想当然：20% 与 5% 混合不等于 12.5%，混合浓度由两种液体的质量加权决定，取多少各占一半才恰好居中
- 盯错对象：要盯住盐（溶质）的质量列式，水中不含盐，别把水的质量混进溶质
- 忘检验可行性：解出的两种液体质量必须都是正数，出现负数说明目标浓度配不出来
常见问题
十字交叉法的原理是什么？
为什么混合时溶质守恒？
配出的浓度偏低或偏高怎么调整？
中考怎么考浓度？
依据与出处
- 人教版（2024 审定）七年级上册 第五章《一元一次方程》