一元二次方程的由来：花拉子米与配方法

故事

史实 公元 9 世纪，花拉子米写了一本书，书名里有 al-jabr（还原）与 al-muqabala（对消）两个词。前者指把负项移到另一侧让方程重新平衡，后者指把同类项合并消去。今天说的「代数」，词源就在这本书的名字里。

史实 他把二次方程分成几类分别处理，因为当时尚不普遍接受负数。最常被引用的一题是：$x^2+10x=39$。

史实 他的解法是几何的：把 $x^2$ 想成一个边长为 $x$ 的正方形，把 $10x$ 想成贴在它两侧的两个长方形（各为 $x\times 5$）。这时的图形缺了一个角，补上边长为 $5$ 的小正方形就成了一个大正方形，面积是 $39+25=64$，所以边长 $x+5=8$，得 $x=3$。

史实 这个「补成完整正方形」的操作，就是今天说的配方法。写成代数式，就是给 $x^2+10x$ 加上 $25$ 得到 $(x+5{)}^2$——加的正是「一次项系数一半的平方」。

有争议 关于花拉子米的著作究竟在多大程度上受到希腊与印度数学的影响，学界仍有讨论。可以确定的是：这本书把解法整理成系统的步骤，并因此影响了此后几百年的代数学。

时间线怎么看

820 年成书，12 世纪译成拉丁文——中间三百多年，是知识在翻译与传播中的滞留期。数学史里这类「成书早、传播晚」的情形很常见，它提醒我们：一部著作真正起作用的时间，往往不是它写成的那年。

与数学的关系

配方法在课本上的位置容易被看轻：既然有求根公式，为什么还要练配方？答案是——公式就是配方推出来的。对一般情形

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

同样做一次「补成完整正方形」，整理后就得到判别式与求根公式。跳过配方直接背公式，遇到需要先变形再求解的题目（比如含参数的、需要先换元的）就没有着力点。

这道题还留下一个至今有用的习惯：解方程时先问「这个式子能不能变成一个完整的平方」。它把「解方程」变成了「认出结构」，这也是后面学二次函数顶点式时要用到的同一双眼睛。

还能往哪里读

顺着它可以看判别式的来历（为什么 $\Delta =b^2-4ac$ 能决定根的个数），以及二次函数顶点式——顶点式其实就是配好方的样子。

说法与史实