人教版六年级下册第五单元《数学广角——鸽巢问题》教材同步学习指南

学习顺序

5.1 鸽巢原理的基本形式

基本形式：$n$ 个物体放入 $m$ 个抽屉，$n>m$，至少有一个抽屉有 $\ge 2$ 个物体。

证明（反证法）：假设每个抽屉最多放 1 个，则总共最多放 $m$ 个。但 $n>m$，矛盾。所以至少有一个抽屉放 $\ge 2$ 个。

例：13 个人中至少有两人在同一个月过生日（12 个月 = 12 个抽屉，13 个人 = 13 个苹果）。

5.2 最不利原则

为了「保证」某种结果，先考虑最倒霉的情况，然后 +1。

例：袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各 5 个，至少取多少个才能保证有 2 个同色？

最不利：前 3 个各取一种颜色（红、黄、蓝各 1 个）。再取 1 个，必与前面某一种颜色重复。所以至少取 $3+1=4$ 个。

例：同上，至少取多少个才能保证有 3 个同色？

最不利：每种颜色各取 2 个，共 6 个。再取 1 个，必有一种颜色达到 3 个。所以至少取 $6+1=7$ 个。

5.3 简单应用

常见类型：5.2 的摸球是颜色问题；生日问题如「13 人中至少 2 人同月生」；数字问题如下。

数字问题：在 1~10 中任取 6 个数，必有两数之和为 11。

配对抽屉：$(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$，共 5 个抽屉。取 6 个数，必有两数落入同一抽屉，和为 11。

本章的三条主线结论

1. 鸽巢原理的核心是「多于」：物体数 > 抽屉数，就必有重叠。
2. 最不利原则是先极端再突破：假设最倒霉的情况发生，+1 就能保证目标。
3. 关键在于构造抽屉：把问题中的「对象」对应为苹果，「分类」对应为抽屉。

最易错：抽屉数与苹果数搞反、最不利时忘记 +1、抽屉构造错误。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 把 8 个苹果放进 3 个抽屉，至少有一个抽屉放几个？——$8÷3=2\cdots 2$，至少 $2+1=3$ 个。
2. 一年 12 个月，13 个人中至少有几人同月生日？——$13÷12=1\cdots 1$，$1+1=2$ 人。
3. 袋中有红、黄、蓝、白四种球，至少取几个才能保证有 2 个同色？——$4+1=5$ 个。
4. 同上，至少取几个才能保证有 3 个同色？——$4\times 2+1=9$ 个。
5. 1~20 中任取 11 个数，证明必有两数之差为 10。

构造抽屉：$(1,11),(2,12),\cdots ,(10,20)$，共 10 个抽屉。取 11 个数，必有两数在同一抽屉，差为 10。

6. 一副扑克牌（去掉大小王）52 张，至少抽几张才能保证有 3 张同花色？——$4\times 2+1=9$ 张。

第 1、2 题出错说明基本形式不熟；第 3、4、6 题出错说明最不利原则不会用；第 5 题出错说明抽屉构造不会。

学完本章之后

鸽巢原理是数学思维的启蒙：

• 初中《概率初步》：必然事件与随机事件，鸽巢原理是必然事件的特例。
• 高中《组合数学》： Ramsey 定理、鸽巢原理的推广。
• 竞赛数学：抽屉构造是竞赛中的经典技巧。

一句口诀收尾：苹果放进抽屉里，多于抽屉必有重；最不利时想极端，加一保证能成功；构造抽屉是关键，对象分类对应清。