平行线的判定与性质

定义

两条直线 $a、b$ 被第三条直线 $c$ 所截：

• 同位角：在截线同旁、被截两线同侧的两个角（如都在右下方）；
• 内错角：在截线两侧、夹在两被截线之间的两个角；
• 同旁内角：在截线同旁、夹在两被截线之间的两个角。

判定（角 → 平行）：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，任一条成立则 $a\parallel b$。

性质（平行 → 角）：若 $a\parallel b$，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

推导

基础：对顶角相等。两直线相交，$\angle 1$ 与 $\angle 3$ 是对顶角，它们都是 $\angle 2$ 的邻补角：

$\angle 1=180°-\angle 2=\angle 3$

即同角的补角相等。$■$

判定 1（同位角相等 → 平行）：这是平行线的基本事实（公理），教材中由画平行线的操作直接确认，作为后续推理的起点。

判定 2（内错角相等 → 平行）：设内错角 $\angle 3=\angle 5$。由对顶角相等 $\angle 3=\angle 1$，故 $\angle 1=\angle 5$（同位角相等），由判定 1 得 $a\parallel b$。$■$

判定 3（同旁内角互补 → 平行）：设同旁内角 $\angle 3+\angle 6=180°$。又 $\angle 3+\angle 2=180°$（邻补角），故 $\angle 2=\angle 6$（同位角相等），由判定 1 得 $a\parallel b$。$■$

性质的证明方向相反：已知 $a\parallel b$，用反证法——假设同位角 $\angle 1\ne \angle 5$，则可过截点作一条使同位角等于 $\angle 5$ 的直线，由判定 1 它与 $a$ 平行，于是过同一点有两条直线平行于 $a$，违反平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线），矛盾。故 $\angle 1=\angle 5$，再由对顶角相等推出内错角相等、同旁内角互补。$■$

典例精析

$AB\parallel CD$，$EF$ 截两线于 $M、N$，$\angle AME=65°$，求 $\angle CNF$。

$\angle AME$ 与 $\angle CNE$ 是同位角，故 $\angle CNE=65°$；$\angle CNF$ 与 $\angle CNE$ 是邻补角：

$\angle CNF=180°-65°=115°$

对比

角的关系	判定（角→线）	性质（线→角）
同位角	相等 → 平行	平行 → 相等
内错角	相等 → 平行	平行 → 相等
同旁内角	互补 → 平行	平行 → 互补