余弦定理

Q: 余弦定理和勾股定理是什么关系？

勾股定理是余弦定理在 $A=90°$（$\cos A=0$）时的特例；余弦定理把勾股定理推广到任意角，多出的 $-2bc\cos A$ 项度量「偏离直角」的程度。

Q: 什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？

SAS 与 SSS 用余弦定理；ASA、AAS 与 SSA 用正弦定理。SSS 求角时先求最大角，其余角再用正弦定理不会产生歧义。

Q: 余弦定理为什么对钝角也成立？

钝角的余弦为负数，代入后修正项变号为加，边的平方恰好大于另两边平方和，与「大边对大角」一致。

余弦定理

余弦定理： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ ，勾股定理是其直角特例；推论 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 可由三边求角，用于 SAS、SSS 解三角形。

适用前提与边界条件

在任意三角形（含钝角三角形）中成立；钝角的余弦为负，公式中 $-2bc\cos A$ 自动变为加号
角与边严格对应： $a$ 是角 $A$ 的对边，不对应时公式失效
三边必须先满足三角形三边关系，否则余弦值超出 $[-1,1]$ ，三角形不存在

定义

在任意 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

轮换字母得 $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。

由三边求角的推论：

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

推导

向量证法：由 $B C = A C - A B$ ，两边取模平方：

$a^{2} = ∣ B C ∣^{2} = ∣ A C - A B ∣^{2} = ∣ A C ∣^{2} + ∣ A B ∣^{2} - 2 A C \cdot A B$

而 $∣ A C ∣ = b$ ， $∣ A B ∣ = c$ ，且 $A C \cdot A B = b c cos A$ ，故

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A ■$

坐标验证：把 $A$ 放在原点、 $A B$ 放在 $x$ 轴上，则 $B (c, 0)$ ， $C (b cos A, b sin A)$ 。由距离公式：

$a^{2} = (b cos A - c)^{2} + (b sin A)^{2} = b^{2} (cos^{2} A + sin^{2} A) + c^{2} - 2 b c cos A = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

两种推导互相印证。

典例精析

例 1：在 $△ A B C$ 中， $b = 3$ ， $c = 4$ ， $A = 60°$ ，求 $a$ 。

$a^{2} = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 13$

故 $a = 13$ 。

例 2：三边为 $5, 7, 8$ ，判断三角形形状并求最大角。

最大边 $8$ 对最大角 $C$ ：

$cos C = \frac{25 + 49 - 64}{2 \times 5 \times 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} > 0$

故 $C$ 为锐角，三角形是锐角三角形， $C = arccos \frac{1}{7} \approx 81.8°$ 。

对比

角 $A$	$cos A$	三边平方关系	三角形
锐角	$cos A > 0$	$a^{2} < b^{2} + c^{2}$	该角锐角
直角	$cos A = 0$	$a^{2} = b^{2} + c^{2}$	勾股定理
钝角	$cos A < 0$	$a^{2} > b^{2} + c^{2}$	该角钝角

正例与反例

✅ 正例

两边 $b=3$ ， $c=4$ ，夹角 $A=60°$ ，则 $a^2=9+16-24\times\frac12=13$ ， $a=\sqrt{13}$
三边 $3,4,5$ ：最大角满足 $\cos C=\frac{9+16-25}{24}=0$ ，故 $C=90°$ ，与勾股定理一致

❌ 反例

三边 $1,2,4$ 代入求最大角得 $\cos C=\frac{1+4-16}{4}=-2.75<-1$ ，不是计算错，是三边不构成三角形

高频误解与考试易错

记成 $a^2=b^2+c^2-2bc\sin A$ ，把余弦写成正弦
钝角情形仍按负号减，实际 $\cos A<0$ 时 $-2bc\cos A$ 是加 $2bc\lvert\cos A\rvert$
由三边求角时算得 $\cos A>1$ 或 $<-1$ 不回头检查三边关系，强行取反余弦
SSS 求角时不先判断最大角（最大角先求，必在 $(0,\pi)$ 内唯一）

常见问题

余弦定理和勾股定理是什么关系？

勾股定理是余弦定理在

A=90°

（

\cos A=0

）时的特例；余弦定理把勾股定理推广到任意角，多出的

-2bc\cos A

项度量「偏离直角」的程度。

什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？

SAS 与 SSS 用余弦定理；ASA、AAS 与 SSA 用正弦定理。SSS 求角时先求最大角，其余角再用正弦定理不会产生歧义。

余弦定理为什么对钝角也成立？