直角三角形相似的判定

定义

两个直角三角形相似，除满足一般三角形相似的判定（AA、SAS、SSS）外，还有特有判定：

斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。

即在 Rt$△ABC$ 与 Rt$△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中（$\angle C=\angle C^{\prime }=90^{\circ }$），若

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k$

则两三角形相似。

推导

化归为 SSS：设斜边比与一直角边比同为 $k$：$AB=k\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }$，$AC=k\cdot A^{\prime }{C}^{\prime }$。

由勾股定理，另一条直角边：

$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{k^2{A}^{\prime }{B}^{\prime 2}-k^2{A}^{\prime }{C}^{\prime 2}}=k\sqrt{A^{\prime }{B}^{\prime 2}-A^{\prime }{C}^{\prime 2}}=k\cdot B^{\prime }{C}^{\prime }$

于是三边之比都为 $k$，由 SSS 相似判定，两三角形相似。$■$

这与全等中的 HL 完全对应：相似比 $k=1$ 时就是斜边、直角边对应相等的全等判定。

母子相似（重要基本图形）：Rt$△ABC$ 中 $CD$ 是斜边 $AB$ 上的高（$\angle ACB=90^{\circ }$）。则

• $△ACD$ 中 $\angle ADC=90^{\circ }$，且 $\angle A$ 与原三角形公共，故 $△ACD\backsim △ABC$（AA）；
• 同理 $△CBD$ 中 $\angle CDB=90^{\circ }$，$\angle B$ 公共，故 $△CBD\backsim △ABC$。

因此 $△ACD\backsim △CBD\backsim △ABC$，三个直角三角形两两相似。这是射影定理的直接来源。$■$

典例精析

例 1（母子相似）Rt$△ABC$ 中 $\angle C=90^{\circ }$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AC=6$、$BC=8$，求 $AD$。

斜边 $AB=\sqrt{36+64}=10$。由母子相似 $△ACD\backsim △ABC$：

$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}⟹AD=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$

例 2（斜边 + 直角边成比例）在 Rt$△ABC$ 与 Rt$△DEF$ 中，$\angle C=\angle F=90^{\circ }$，斜边 $AB=15$、$DE=5$，直角边 $AC=12$、$DF=4$，判断两三角形是否相似，并写出相似比。

先检验斜边与直角边是否对应成比例：

$\frac{AB}{DE}=\frac{15}{5}=3,\frac{AC}{DF}=\frac{12}{4}=3$

斜边与一条直角边对应成比例（比值同为 $3$），由直角三角形特有判定，$△ABC\sim △DEF$，相似比 $k=3$。

（由勾股定理还可算出 $BC=9$、$EF=3$，$\frac{BC}{EF}=3$，也满足三边成比例，两种方法结果一致。）

对比

判据	一般三角形	直角三角形特有
两角	AA	一个锐角相等即可（直角自动等）
两边夹角	SAS	两直角边成比例
三边	SSS	—
斜边 + 一边	无	斜边与一直角边成比例

与其他知识的联系

• 射影定理：本页的「母子相似」（斜边上的高把直角三角形分成两个与原三角形相似的小三角形）是射影定理的直接来源，射影定理的三条比例式都由此推出。
• 勾股定理：「斜边 + 一直角边成比例」之所以能判定相似，正是靠勾股定理算出第三边，化归为 SSS，二者互为表里。
• 相似三角形判定：直角三角形是特殊的三角形，AA、SAS、SSS 全部适用，本页特有判定只是在这些基础上的简化与补充。
• 解直角三角形：斜边上的高带来的母子相似，是解直角三角形与三角函数中处理斜边高分线段问题的基础图形。