反比例函数的图象与性质

推导

画图：以 $y=\frac{6}{x}$ 为例，列表取 $x=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$，算出对应 $y$ 值，描点并用平滑曲线连成两支。

增减性：在同一支上取 $x_1<x_2$（同号），比较函数值：

$y_1-y_2=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1{x}_2}$

其中 $x_2-x_1>0$；同一支上 $x_1,x_2$ 同号，故 $x_1{x}_2>0$。于是 $y_1-y_2$ 的符号由 $k$ 决定：

• $k>0$ 时 $y_1-y_2>0$，即 $y$ 随 $x$ 增大而减小；
• $k<0$ 时 $y_1-y_2<0$，即 $y$ 随 $x$ 增大而增大。

这正是「增减性要说同一支」的原因：跨支时 $x_1{x}_2<0$，上述结论失效。$■$

典例精析

例 1：判断 $y=-\frac{4}{x}$ 的图象位置与增减性。

$k=-4<0$，图象两支在第二、四象限，同一支上 $y$ 随 $x$ 增大而增大。

例 2（$k$ 的几何意义）：点 $P(2,3)$ 在 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上，过 $P$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线，垂足为 $A$、$B$，求矩形 $OAPB$ 的面积。

$S=OA\times OB=|2|\times |3|=6=|k|$

一般地，这样的矩形面积恒为 $|k|$，对应的直角三角形面积为 $\frac{|k|}{2}$。

对比

给家长的讲法

让孩子在坐标纸上给 y＝4/x 列表描点，先只描第一象限，连成曲线，再描第三象限，问两支能不能连起来。三分钟只画这一支。一句话可复述：反比例函数的图象是双曲线，两支分开，越靠近坐标轴越近但永不相交。

课堂提示

• 本页难点：两支不能连成一条线，它们是分开的。
• 一句提问：第一象限的曲线能和第三象限的连起来吗？为什么？
• 板书/操作：黑板示范列表描点，用两种颜色画两支，靠近坐标轴处画虚箭头。