苏科版九年级上册第2章《反比例函数》教材同步学习指南

定义

形如 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,k\text{为常数})$ 的函数叫反比例函数，其中 $x$ 是自变量，$k$ 是比例系数。

反比例函数也可以写成 $xy=k(k\ne 0),$ 所以自变量 $x\ne 0$，函数值 $y\ne 0$。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 反比例函数的概念	辨认反比例函数，确定 $k$	会设 $y=\frac{k}{x}$
2.2 反比例函数的图象与性质	画双曲线，看象限与增减性	掌握 $k$ 的符号与几何意义
2.3 用反比例函数解决问题	建模、求解析式、求值	解决面积、行程、工程等问题

2.1 反比例函数的概念

反比例函数有三种常见写法： $y=\frac{k}{x},xy=k,y=k{x}^{-1}(k\ne 0).$

判断时看两点：两个变量的乘积是否为非零常数；自变量是否在分母中。

例：已知 $y$ 与 $x$ 成反比例，且当 $x=3$ 时 $y=4$，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。

设 $y=\frac{k}{x}$，代入 $(3,4)$ 得 $k=3\times 4=12,$ 所以 $y=\frac{12}{x}.$

2.2 反比例函数的图象与性质

反比例函数的图象叫双曲线，由两条分支组成，关于原点中心对称，也关于直线 $y=x$、$y=-x$ 成轴对称。图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

$k$ 的符号	图象所在象限	在每个象限内的增减性
$k>0$	第一、三象限	$y$ 随 $x$ 增大而减小
$k<0$	第二、四象限	$y$ 随 $x$ 增大而增大

“在每个象限内”这六个字不能省。以 $y=\frac{6}{x}$ 为例，$x=-1$ 时 $y=-6$，$x=1$ 时 $y=6$，跨象限比较时 $y$ 反而随 $x$ 增大而增大。所以增减性只能在同一支上讨论。

$k$ 的几何意义：过图象上任意一点 $P(x,y)$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 $S=|x|\cdot |y|=|xy|=|k|.$ 连接 $P$ 与原点，所得直角三角形面积为 $\frac{|k|}{2}$。

例：$y=\frac{6}{x}$ 上一点 $P(2,3)$，过 $P$ 作两坐标轴的垂线，围成矩形面积为 $2\times 3=6$；对应三角形面积为 3。

2.3 用反比例函数解决问题

反比例函数常用于“乘积一定”的实际问题：

• 路程一定时，速度与时间成反比例；
• 工作量一定时，工作效率与时间成反比例；
• 压力一定时，压强与受力面积成反比例。

解题步骤：

1. 判断两个量的乘积是否为定值；
2. 设 $y=\frac{k}{x}$，用已知一对对应值求 $k$；
3. 根据解析式求未知量；
4. 结合实际情况确定自变量的取值范围。

例：矩形面积为 $12$，长 $y$ 与宽 $x$ 的关系为 $y=\frac{12}{x}(x>0).$ 当宽为 3 时，长为 4；当宽为 6 时，长为 2。

实际问题中，长度、时间等通常只能取正数，所以图象往往只取双曲线在第一象限的一支。

本章的三条主线结论

1. 乘积为定值是本质：$xy=k$ 比 $y=\frac{k}{x}$ 更容易判断和计算
2. 增减性必须限定象限：双曲线两支不能放在一起比较
3. $k$ 的绝对值决定面积：矩形面积为 $|k|$，三角形面积为 $\frac{|k|}{2}$

自测

先自己完成，再看答案：

1. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 中，$k$ 能等于 0 吗？——不能
2. $y=\frac{12}{x}$ 的图象经过点 $(3,4)$ 吗？——经过
3. $y=\frac{5}{x}$ 的图象在哪两个象限？——第一、三象限
4. $y=-\frac{8}{x}$ 中，在每个象限内 $y$ 随 $x$ 增大而怎样变化？——增大
5. $y=\frac{6}{x}$ 上一点到两坐标轴围成的矩形面积是多少？——6
6. 已知 $y$ 与 $x$ 成反比例，$x=2$ 时 $y=5$，求 $x=5$ 时的 $y$。——2

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、4 题出错，说明 $k$ 的符号与象限对应还需再记。

学完本章之后

本章把函数从一次推广到反比例：

• 九年级下册《二次函数》：继续研究非线性函数的图象与性质
• 九年级下册《锐角三角函数》：比值与函数关系互相呼应
• 高中《函数》：反比例函数是研究单调性、渐近线的基础模型

把“先定 $k$ 的符号—再定象限—最后在同一支上看增减”做成顺序，反比例函数题就不会跨支出错。