分类与分步如何区分？

分类用"或"连接，每类独立完成事件，用加法（如选 1 人从 A 班或 B 班）；分步用"且"连接，每步不能单独完成事件，用乘法（如先选班长且再选副班长）。

排列数与组合数公式？

排列数 $A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}$（$n,m\in\mathbb{N}^*$，$m\le n$）；组合数 $C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$；关系 $A_n^m=C_n^m A_m^m$。

组合数的两个性质？

(1) $C_n^m=C_n^{n-m}$（互补对称）；(2) $C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$（递推，即杨辉三角）。

二项式定理通项公式？

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$，展开式第 $k+1$ 项 $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$（$k=0,1,\ldots,n$）。求指定项先定 $k$。

杨辉三角的构造与性质？

两腰为 1，内部每数 = 两肩之和；第 $n$ 行（从 0 计）为 $C_n^0,C_n^1,\ldots,C_n^n$；所有数之和 $2^n$。

计数原理 - LibreMath

分类加法与分步乘法计数原理；排列 $A_n^m$ 与组合 $C_n^m$ 公式及性质；二项式定理 $(a+b)^n=\sum C_n^k a^{n-k}b^k$ 与通项。

定义

分类加法计数原理：完成一件事有 $n$ 类办法，第 $i$ 类有 $m_{i}$ 种方法，则完成这件事共有

$N = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$

种不同方法。任选一类中任一方法即可完成。

分步乘法计数原理：完成一件事需分 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_{i}$ 种方法，则完成这件事共有

$N = m_{1} \cdot m_{2} \dots m_{n}$

种不同方法。必须每一步都完成才算完成。

排列：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个（ $m \leq n$ ）按一定顺序排成一列，叫作从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个的一个排列。排列数

$A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1)$

组合：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个（ $m \leq n$ ）并成一组，叫作从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个的一个组合。组合数

$C_{n}^{m} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!} = \frac{A _{n}^{m}}{A _{m}^{m}}$

二项式定理：对任意正整数 $n$ ，

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$

展开式第 $k + 1$ 项（通项）为 $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ （ $k = 0, 1, \dots, n$ ）。

推导

排列数公式推导：从 $n$ 个元素中取第 1 个有 $n$ 种、第 2 个有 $n - 1$ 种、…、第 $m$ 个有 $n - m + 1$ 种，由分步乘法原理

$A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1) = \frac{n !}{( n - m )!}$

组合数公式推导：取 $m$ 个元素的排列数 = 先取 $m$ 个的组合数 $\times$ 这 $m$ 个元素的全排列，即 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} \cdot A_{m}^{m}$ ，故

$C_{n}^{m} = \frac{A _{n}^{m}}{A _{m}^{m}} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - m + 1 )}{m !} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!}$

组合数性质：

对称性： $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ （从 $n$ 个取 $m$ 个等价于取 $n - m$ 个不取）
递推性： $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ （杨辉三角递推）
和： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$

二项式定理推导： $(a + b)^{n}$ 展开式中项 $a^{n - k} b^{k}$ 的系数等于从 $n$ 个括号 $(a + b)$ 中取 $k$ 个 $b$ 、其余取 $a$ 的方法数，即 $C_{n}^{k}$ ，故

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

杨辉三角：

行号 $n$	各项
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
$n$	$C_{n}^{0} C_{n}^{1} C_{n}^{2} \dots C_{n}^{n}$

两腰为 1，内部每数等于两肩之和（即 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ）。

典例精析

例 1：用 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 可组成多少个无重复数字的四位偶数？

分两步：个位先定，再定首位。

个位为 0：其余 3 位从 $1 \sim 5$ 取排列， $A_{5}^{3} = 60$ ；
个位为 2 或 4：个位 $2$ 种，首位不能为 0 且不能与个位重复，有 $4$ 种（除 $0$ 和个位数字外还有 $4$ 个数字可选），中间两位从剩下 $4$ 个取， $A_{4}^{2} = 12$ ，共 $2 \times 4 \times 12 = 96$ 。

总数 $60 + 96 = 156$ 。

例 2：从 6 男 4 女中选 3 人，至少 1 女，有多少种选法？

法一（直接）： $C_{4}^{1} C_{6}^{2} + C_{4}^{2} C_{6}^{1} + C_{4}^{3} C_{6}^{0} = 4 \times 15 + 6 \times 6 + 4 \times 1 = 64 + 36 = 100$ 。

法二（间接）： $C_{10}^{3} - C_{6}^{3} = 120 - 20 = 100$ 。

例 3：求 $(x - \frac{2}{x})^{6}$ 展开式中的常数项。

通项 $T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} (- \frac{2}{x})^{k} = C_{6}^{k} (- 2)^{k} x^{6 - 2 k}$ 。

令 $6 - 2 k = 0$ ， $k = 3$ ， $T_{4} = C_{6}^{3} (- 2)^{3} = 20 \times (- 8) = - 160$ 。

常数项为 $- 160$ 。

例 4：求 $(1 + x)^{10}$ 展开式中系数最大的项。

设第 $k + 1$ 项系数 $C_{10}^{k}$ 最大。由 $C_{n}^{k}$ 在 $k = ⌊ n /2 ⌋$ 时最大， $k = 5$ ，最大系数 $C_{10}^{5} = 252$ ，对应项为 $C_{10}^{5} x^{5} = 252 x^{5}$ 。

对比

概念	公式	有序无序
排列数 $A_{n}^{m}$	$\frac{n !}{( n - m )!}$	有序
组合数 $C_{n}^{m}$	$\frac{n !}{m ! ( n - m )!}$	无序
关系	$A_{n}^{m} = C_{n}^{m} \cdot A_{m}^{m}$	—
二项式通项	$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$	—

计数原理

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

计数原理

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

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