余角和补角的性质

定义

互余：如果两个角的和等于 $90°$（直角），就说这两个角互为余角，即 $\angle 1+\angle 2=90°$。

互补：如果两个角的和等于 $180°$（平角），就说这两个角互为补角，即 $\angle 1+\angle 2=180°$。

性质定理：

• 同角（或等角）的余角相等；
• 同角（或等角）的补角相等。

推导

同角的余角相等：设 $\angle 2$ 和 $\angle 3$ 都是 $\angle 1$ 的余角，则

$\angle 1+\angle 2=90°,\angle 1+\angle 3=90°$

两式都减去 $\angle 1$：

$\angle 2=90°-\angle 1=\angle 3■$

等角的余角相等：设 $\angle 1=\angle 4$，且 $\angle 2$ 是 $\angle 1$ 的余角、$\angle 5$ 是 $\angle 4$ 的余角，则

$\angle 2=90°-\angle 1=90°-\angle 4=\angle 5■$

补角的情形完全相同，只需把 $90°$ 换成 $180°$。

经典应用——对顶角相等：两直线相交，$\angle 1$ 与 $\angle 3$ 是对顶角，$\angle 2$ 与它们分别相邻：

$\angle 1+\angle 2=180^{\circ },\angle 3+\angle 2=180^{\circ }$

$\angle 1$ 和 $\angle 3$ 都是 $\angle 2$ 的补角，由「同角的补角相等」得 $\angle 1=\angle 3$。$■$

三条常用结论

1. 同角（或等角）的余角相等、补角相等——把「角相等」的证明转化为「找同一个角的余角（补角）」
2. 同一个角的补角比它的余角大 $90^{\circ }$——因为 $(180^{\circ }-\alpha )-(90^{\circ }-\alpha )=90^{\circ }$，与 $\alpha$ 无关
3. 互余互补只看度数和——与两个角是否相邻、是否有公共顶点、在什么位置通通无关

第 3 条最容易被误解：课本插图里互余的两个角常常画成拼在一起的直角，但那是画法，不是条件。两个角分别在两个三角形里，只要度数加起来是 $90^{\circ }$，它们就互余。

存在范围

设角为 $\alpha$（这里只讨论 $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ 的角）：

• $\alpha <90^{\circ }$（锐角）：既有余角又有补角
• $\alpha =90^{\circ }$（直角）：余角是 $0^{\circ }$，补角是 $90^{\circ }$
• $\alpha >90^{\circ }$（钝角）：没有余角（$90^{\circ }-\alpha <0$），但有补角

题目说「一个角的余角」时，就隐含了这个角小于 $90^{\circ }$；说「补角」时隐含它小于 $180^{\circ }$。这个隐含条件常被用来排除不合理解。

典例精析

一个角的补角是它的余角的 $3$ 倍，求这个角。

设这个角为 $x^{\circ }$，则补角为 $(180-x{)}^{\circ }$，余角为 $(90-x{)}^{\circ }$：

$180-x=3(90-x)=270-3x$

$2x=90⟹x=45$

故这个角是 $45^{\circ }$。

再练一道带常数项的：一个角的补角比它的余角的 $2$ 倍多 $30^{\circ }$，求这个角。

$180-x=2(90-x)+30$

$180-x=210-2x⟹x=30$

检验：这个角 $30^{\circ }$，余角 $60^{\circ }$，补角 $150^{\circ }$，而 $2\times 60^{\circ }+30^{\circ }=150^{\circ }$，符合题意。

与其他知识的联系

「同角的余角（补角）相等」是初中最早用来证明两个角相等的工具，它的身影在此后随处可见：

• 对顶角相等：由同角的补角相等直接推出
• 平行线的性质：同旁内角互补正是补角关系，用它可由一个角求出另一个
• 三角形内角和：三角形中两个锐角互余（直角三角形）、一个外角与相邻内角互补

再往后，「两个角之和为定值」这一结构还会以其他形式出现（如圆内接四边形对角互补），但推理的骨架仍是本页这两条性质。

对比

关系	度数和	存在范围（角 α）
互余	$90°$	$0°<\alpha <90°$
互补	$180°$	$0°<\alpha <180°$
对顶角	角度相等	两直线相交
邻补角	$180°$ 且相邻	共顶点共边