排列与组合：有序选排列、无序选组合

从 nn 个不同元素取 mm 个按顺序排成一列叫排列，Anm=n!(n−m)!A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}；不考虑顺序并成一组叫组合，Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}。区分关键是是否与顺序有关。

前置知识

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必备前置 学本页前须先掌握

适用前提与边界条件

  1. 元素互不相同
  2. 取出的 mm 个元素满足 m≤nm\le n
教材位置 人教A版 选择性必修第三册 · 第6章 计数原理

定义

从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。

排列数记为 ：

特别地，，规定 。

组合

从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。

组合数记为 ：

组合数性质：

  • （对称性）
  • （递推公式）

区分方法

核心：取出的元素是否与顺序有关。

情境类型依据
排队、排座位、组成三位数排列顺序不同结果不同
选代表、组队、选课程组合顺序不影响结果

典例精析

例 1（排列） 从 5 名同学中选 3 人排成一排照相，有多少种排法？

例 2（组合） 从 5 名同学中选 3 人参加活动，有多少种选法？

例 3（组合性质） 计算 ：

例 4（综合） 从 4 男 3 女中选 3 人，要求男女都有，有多少种选法？

排除全男和全女：。

对比

项目排列 组合
是否有序有序无序
公式
关系

正例与反例

✅ 正例

  • 从 5 人中选 3 人排成一排：A53=5×4×3=60A_5^3=5\times4\times3=60
  • 从 5 人中选 3 人组成小组：C53=5×4×33×2×1=10C_5^3=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10

❌ 反例

  • 从 5 人选 3 人排队误写成 C53=10C_5^3=10：排队有顺序，应用排列 A53=60A_5^3=60

高频误解与考试易错

  • 排列与顺序有关，组合与顺序无关：判断时交换两个元素位置，看结果是否变化
  • 排列数公式分母是 (n−m)!(n-m)! 不是 (n−m)(n-m)，组合数多除以 m!m!
  • Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m}（组合对称性），用于简化大数计算

常见问题

怎么区分排列和组合？
交换取出元素中任意两个的位置，若结果不同则是排列（与顺序有关），若结果相同则是组合（与顺序无关）。例如「选 3 人当正副班长」是排列，「选 3 人参加活动」是组合。
组合数为什么要除以 m!m!？
先按排列算有 AnmA_n^m 种取法，但组合不考虑顺序，而每 mm 个元素的全排列有 m!m! 种，所以组合数是排列数除以 m!m!，即 Cnm=Anmm!=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}。
Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m} 有什么用？
组合的对称性：选 mm 个等于留 n−mn-m 个。当 m>n2m>\frac{n}{2} 时用对称式简化计算，如 C108=C102=10×92=45C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\times9}{2}=45，避免大数阶乘。

依据与出处

  • 人教 A 版高中数学选择性必修第三册（2019 审定）第六章《计数原理》：排列与组合