这一章在教材中的位置？

人教A版（2019 审定）选择性必修第三册第六章，是概率统计板块的代数工具章。计数原理为第七章随机变量的古典概型计算、二项分布提供计数基础，二项式定理直接通向二项分布的概率公式。

什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理？

看完成一件事的方式：若方案可以分成几「类」，每类都能独立完成这件事，类与类互斥，用加法；若必须分几「步」，每步只完成一部分、缺一不可，用乘法。复杂问题往往是先分类、类内再分步，混合使用。

排列数与组合数公式怎么记？

排列 $A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$，从 $n$ 开始连乘 $m$ 个数；组合 $C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$，即「排列除掉内部的序」。性质 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 用于简化大数计算。

二项式定理有什么用？

展开 $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$。求特定项用通项 $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$；赋值法（令 $a=b=1$）得二项式系数和 $2^n$；二项式系数最大项在中间（项的系数未必，需把 $a,b$ 中的数字因数一并计入）。它是组合数的「母函数」，也是二项分布公式的外形。

人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》教材同步学习指南

按人教A版（2019 审定）选择性必修第三册第六章编排，梳理分类加法与分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理的学习顺序，强调「分类用加、分步用乘；有序排列、无序组合」。

定义

本章解决「有多少种不同的方法」这一类计数问题。两个基本原理是全部计数的地基：

分类加法计数原理：完成一件事有 $n$ 类方案，第 $i$ 类有 $m_{i}$ 种方法，则共有 $N = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ 种（各类互斥、每类独立完成）；
分步乘法计数原理：完成一件事需 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_{i}$ 种方法，则共有 $N = m_{1} \times m_{2} \times \dots \times m_{n}$ 种（步步相依、缺一不可）。

在此基础上定义排列（取出 $m$ 个元素排成有序序列）与组合（取出 $m$ 个元素不分顺序），最后以二项式定理把组合数嵌入代数恒等式。全章沿「原理 → 模型（排列/组合）→ 代数化（二项式定理）」推进。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
6.1 两个计数原理	计数地基	分类用加、分步用乘；混合问题先类后步
6.2.1–6.2.2 排列与排列数	有序模型	$A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}$ ；全排列 $n!$
6.2.3–6.2.4 组合与组合数	无序模型	$C_{n}^{m} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!}$ ； $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$
6.3.1 二项式定理	展开公式	$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ；通项 $T_{k + 1}$
6.3.2 二项式系数的性质	系数规律	对称性；增减性与最大项；系数和 $2^{n}$

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

判别口诀：「类类独立用加法，步步相依用乘法」。判断标准：每一类方案能否独立把事做完（能→分类相加）；每一步是否只完成事情的一部分（是→分步相乘）。综合题的常见结构是「先分类、再分步」，例如安排人数时先按限制条件分类，每类内部再分步安排。当正面分类太繁时用间接法：总数减去不符合条件数（正难则反）。

6.2 排列与组合

排列：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个（ $m \leq n$ ）按一定顺序排成一列。排列数

$A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1) = \frac{n !}{( n - m )!},$

特别地 $A_{n}^{n} = n!$ （全排列），规定 $0! = 1$ 。

组合：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个并成一组（不计顺序）。组合数

$C_{n}^{m} = \frac{A _{n}^{m}}{m !} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!} .$

两个常用性质： $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ （取 $m$ 个与剩 $n - m$ 个一一对应）； $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ （按某元素取与不取分类，这是杨辉三角的递推关系）。

解题第一问永远是「有序还是无序」：排队、编号、分工不同→排列；选取、分组、抽检→组合。常见模型：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、定序问题除序法、分组分配先组后配。

6.3 二项式定理

定理：

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} (n \in N^{*}) .$

通项（第 $k + 1$ 项）： $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ 。注意下标错位：求第几项时 $k$ 比项数少 1。求指定项（如常数项、有理项、 $x^{m}$ 项）的程序：写通项 → 合并字母的指数 → 令指数满足条件解出 $k$ → 回代。

二项式系数的性质（6.3.2）：

对称性： $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ，与首末等距离的系数相等；
增减性与最大值： $n$ 为偶数时中间一项 $C_{n}^{n /2}$ 最大， $n$ 为奇数时中间两项 $C_{n}^{(n - 1) /2} = C_{n}^{(n + 1) /2}$ 最大；
系数和：令 $a = b = 1$ 得 $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ ；令 $a = 1, b = - 1$ 得奇数项系数和等于偶数项系数和（各为 $2^{n - 1}$ ）。

区分「二项式系数」 $C_{n}^{k}$ 与「项的系数」：后者要把 $a, b$ 中的数字因数一并乘入（如 $(2 x + 1)^{n}$ 中 $x^{k}$ 的系数为 $C_{n}^{k} 2^{k}$ ）。赋值法是求展开式系数和的标准技巧。

本章的三条主线结论

两个原理是一切计数的地基：分类相加、分步相乘，复杂计数题都是这两条原理的嵌套与组合。
有序无序是排列组合的分水岭： $A_{n}^{m}$ 与 $C_{n}^{m}$ 相差一个内部排序 $m!$ ；判断错序，全题皆错。
二项式定理是组合数的代数化：展开式、通项、系数性质都由 $C_{n}^{k}$ 驱动，它同时是第七章二项分布概率公式的外形。

最易错：分类分步混淆、排列组合误判、间接法总数算错、通项下标 $k + 1$ 错位、二项式系数与项的系数不分。

自测

先自己判断，再看答案：

从甲地到乙地有 3 条公路、2 条铁路，共有多少种走法？——分类， $3 + 2 = 5$ 种。
用数字 $1, 2, 3, 4$ 组成无重复数字的三位数，有多少个？——排列， $A_{4}^{3} = 24$ 个。
从 10 件产品中抽 3 件检验，有多少种抽法？——组合， $C_{10}^{3} = 120$ 种。
计算 $C_{8}^{3} + C_{8}^{4}$ 。——由性质得 $C_{9}^{4} = 126$ 。
求 $(x - 2)^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数。—— $T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} (- 2)^{k}$ ，令 $6 - k = 4$ 得 $k = 2$ ，系数 $C_{6}^{2} \cdot 4 = 60$ 。
$(1 + x)^{8}$ 的二项式系数和与最大二项式系数。——和 $2^{8} = 256$ ；最大为中间项 $C_{8}^{4} = 70$ 。

第 1、2、3 题出错说明原理与有序无序没分清；第 4 题出错说明组合数性质不熟；第 5 题出错说明通项下标或数字因数处理有误。

学完本章之后

选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》：古典概型的计数、二项分布 $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ 都直接使用本章工具。
高考：排列组合与二项式定理多以小题出现，是概率大题的计算基础；计数思想也渗透在数列、集合问题中。
后续数学：组合数是组合数学与离散数学的基本对象，二项式定理是牛顿广义二项式定理与生成函数的起点。

一句口诀收尾：分类相加步相乘，有序排列无序组；捆绑插空除定序，正难则反用补集；二项展开看通项，下标错位要当心；系数性质三条记，对称最大和为 $2^{n}$ 。

人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》教材同步学习指南

适用前提与边界条件

定义

学习顺序

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

6.2 排列与组合

6.3 二项式定理

本章的三条主线结论

自测

学完本章之后

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》教材同步学习指南

适用前提与边界条件

定义

学习顺序

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

6.2 排列与组合

6.3 二项式定理

本章的三条主线结论

自测

学完本章之后

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

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