抛物线的定义与标准方程：焦点、准线与离心率

定义

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F$ 不在 $l$ 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 $F$ 叫焦点，定直线 $l$ 叫准线。

设 $P$ 为轨迹上一点，$d$ 为 $P$ 到准线的距离，则

$$|PF|=d.$$

标准方程

取过焦点且垂直于准线的直线为坐标轴，焦点到准线距离为 $p$（$p>0$）。

开口方向	标准方程	焦点	准线
向右	$y^2=2px$	$(\frac{p}{2},0)$	$x=-\frac{p}{2}$
向左	$y^2=-2px$	$(-\frac{p}{2},0)$	$x=\frac{p}{2}$
向上	$x^2=2py$	$(0,\frac{p}{2})$	$y=-\frac{p}{2}$
向下	$x^2=-2py$	$(0,-\frac{p}{2})$	$y=\frac{p}{2}$

离心率 $e=1$。

典例精析

例 1（由方程求焦点准线） 抛物线 $y^2=8x$。对比 $y^2=2px$，得 $2p=8$，故 $p=4$。

• 焦点：$(\frac{p}{2},0)=(2,0)$
• 准线：$x=-\frac{p}{2}=-2$
• 开口方向：向右（$p>0$）

例 2（由条件求方程） 焦点 $(0,-3)$，准线 $y=3$，则抛物线开口向下，$\frac{p}{2}=3$，$p=6$，标准方程为

$$x^2=-2py=-12y.$$

例 3（定义应用） 点 $P$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上，$P$ 到准线 $x=-1$ 距离为 5，则 $P$ 到焦点 $(1,0)$ 的距离也为 5（抛物线定义）。

对比

圆锥曲线	几何定义	标准方程（焦点在 $x$ 轴）	离心率
椭圆	到两焦点距离和为 $2a$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$e<1$
双曲线	到两焦点距离差为 $2a$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$e>1$
抛物线	到焦点与准线距离相等	$y^2=2px$	$e=1$

给家长的讲法

在纸上画一条直线，再在直线外点一个点。让孩子把纸反复对折，每次都让那个点落在直线上，压平后展开。折上十次，折痕会围出一条张开的曲线，曲线的边缘到那个点和到直线的距离始终相等。三分钟折十次，孩子会记住这条曲线的脾气。一句话可复述：抛物线上每一点到焦点的距离，都等于它到那条定直线的距离。

课堂提示

• 本页难点：焦点与准线的位置随开口方向变化，$\frac{p}{2}$ 容易写成 $p$。
• 一句提问：$y^2=4x$ 的焦点到准线的距离是多少？
• 板书/操作：画 $y^2=4x$，标出焦点、准线，以及曲线上一点到两者的等距线段。