平面图形的镶嵌

定义

平面图形的镶嵌（密铺）：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。

镶嵌的必要条件：在每一个公共拼接顶点处，拼在一起的各多边形内角之和恰好等于周角 $360°$。

推导

同一种正多边形密铺的判定：正 $n$ 边形每个内角为

$\alpha =\frac{(n-2)\times 180°}{n}$

设一个拼接点处拼了 $k$ 个这样的内角，则无缝隙不重叠要求

$k\alpha =360°(k\text{ 为不小于 }3\text{ 的整数})$

逐一检验：

• 正三角形：$\alpha =60°$，$k=6$，成立；
• 正方形：$\alpha =90°$，$k=4$，成立；
• 正五边形：$\alpha =108°$，$360÷108=\frac{10}{3}$ 不是整数，不成立；
• 正六边形：$\alpha =120°$，$k=3$，成立；
• $n\ge 7$ 时 $\alpha >128°$，$3\alpha >360°$ 而 $2\alpha <360°$，没有整数 $k$，均不成立。

故能单独密铺的正多边形只有正三、正四、正六三种。$■$

任意三角形能密铺：把六个全等三角形在一个顶点处拼接，使该三角形的三个内角各出现两次，角度和为 $2(\angle A+\angle B+\angle C)=2\times 180°=360°$。通过翻转（旋转 $180°$）排列可实现边边重合。$■$

任意四边形能密铺：在一个拼接点处让四个全等四边形各贡献一个不同的内角，角度和为 $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$（四边形内角和）。$■$

组合密铺：允许多种正多边形时，只需在顶点处找到角度凑成 $360°$ 的搭配，如正八边形（$135°$）配正方形（$90°$）：$135°\times 2+90°=360°$。

典例精析

用正三角形和正方形组合密铺，每个顶点处各几个？

设正三角形 $m$ 个、正方形 $n$ 个，则 $60m+90n=360$，即 $2m+3n=12$。正整数解为 $m=3$、$n=2$。故每个顶点处 3 个正三角形和 2 个正方形（$3\times 60°+2\times 90°=360°$）。

对比

图形	内角度数	顶点处个数	能否单独密铺
正三角形	60°	6	能
正方形	90°	4	能
正五边形	108°	无整数解	不能
正六边形	120°	3	能
任意三角形	—	各角 2 次	能
任意四边形	—	各角 1 次	能