三角恒等变换：公式间的化简与求值

三个变换方向

三角恒等变换的目标是把复杂式子恒等化为简单标准形。三个入手方向：

核心公式回顾

两角和差：

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

二倍角：

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

辅助角：

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi ),\tan \phi =\frac{b}{a}$

典例精析

例 1（辅助角公式求最值） 求 $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。

$y=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

最大值为 $2$。合一后最值、周期一眼看出。

例 2（变角求值） 已知 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha$ 为锐角，求 $\cos 2\alpha$。

由 ${\sin }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$（锐角取正），$\sin \alpha =\frac{4}{5}$。

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$

辨析与提醒

• 余弦和差符号：$\cos (\alpha +\beta )$ 展开中间是减号，与正弦「同号」相反，最易记错。
• 开方看象限：用 $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ 时，符号由 $\alpha$ 所在象限决定。
• 先观察再动手：看出角之间的倍、半、互余关系再选公式，往往一步化简，省去大量计算。

跨学段衔接

初中「锐角三角函数」建立了边角关系；高中三角恒等变换把这些关系扩展为任意角的公式体系，是研究三角函数图象性质、解三角形的工具；大学「傅里叶级数」把函数分解为三角函数之和。恒等变换是三角学的「运算基本功」。