三角形的面积公式与推导

定义

三角形的面积：三角形所占平面的大小，等于底乘高除以 2：

$S=ah÷2$

其中 $a$ 是底，$h$ 是这条底边上的高。

推导

方法一：拼平行四边形

取两个完全一样的三角形，把其中一个旋转 $180^{\circ }$，与原三角形拼成一个平行四边形。

• 平行四边形的底 = 三角形的底 $a$
• 平行四边形的高 = 三角形的高 $h$
• 平行四边形面积 = $ah$

一个三角形只占这个平行四边形的一半，所以：

$S=ah÷2$

方法二：沿中位线剪拼

沿三角形两边中点的连线剪下小三角形，把它旋转后拼到剩下梯形的旁边，能拼成一个底为 $a$、高为原来一半的平行四边形，面积是 $a\times (h÷2)=ah÷2$。

典例精析

例 1 三角形底 $10$ cm、高 $6$ cm，求面积。

$S=ah÷2=10\times 6÷2=30$（平方厘米）。

例 2 一块三角形警示牌，底 $9$ dm、高 $7$ dm，求面积。

$S=9\times 7÷2=31.5$（平方分米）。

例 3 直角三角形两条直角边分别是 $3$ cm 和 $4$ cm，求面积。

两条直角边互为底和高：$S=3\times 4÷2=6$（平方厘米）。

例 4 判断：底 $10$ cm、高 $6$ cm 的三角形，面积是 $60$ 平方厘米。

错。漏除以 2 了。正确应为 $10\times 6÷2=30$ 平方厘米。

对比

项目	平行四边形	三角形
面积公式	$S=ah$	$S=ah÷2$
与长方形关系	剪拼成长方形	两个拼成平行四边形
关键区别	不除以 2	必须除以 2
例（底 10 高 6）	$60$	$30$

一句口诀收尾：三角形面积好计算，底乘高来除以 2；底高对应别记错，两个拼成平行四边形。